§4.4_有理函数的积分.pptVIP

* 由三角学知识 可通过变换 事实上,由 万能公式代换 则 表示. 化为有理函数的积分. u的有理函数 例 求积分 解 由万能置换公式 * 例 求 解 法一 回代 * 法二 不用万能代换公式 比较以上两种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换. 结论 如 若用万能代换，则 化部分分式比较困难 但若是凑微分，则比较简单 * (1) 尽量使分母简单. 基本思路 或分子分母同乘以某个 因子, 把分母化为 的单项式, 或将分母整个看成一项. (2) 尽量使 的幂降低. 用倍角公式或积化和差公式以达目的. 为此常利 * 类型 解决方法 作代换去掉根号. 通常先将 配方, 再用三角变换化为三角函数有理式的积分或 直接利用积分公式计算. 2. 简单无理函数的积分 * 回代 例 解 令 原式= 例 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. * 例 求 解 先将无理函数的分子或分母有理化. 分析 原式 例 解一 令 * §4.4 有理函数的积分 有理函数的积分 可化为有理函数的 积分举例 rational function * 定义 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数. 一、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 真分式; 假分式. n n n a x a x a + + + - L 1 1 0 m m m b x b x b + + + - L 1 1 0 * 例 多项式的积分容易计算. 有理真分式的积分. 只讨论: 多项式 真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 若干部分分式之和 * 有理真分式可以分解为一些最简单的分式之和， 例如 因此，有下列问题需要解决： （1）哪几类分式是最简分式（部分分式）？ （2）怎样把一个有理真分式分解为若干个部分分式之和？ （3）如何求各类部分分式的积分？ 如果这三个问题解决了，则有理真分式的积分问题也就解决了，从而有理函数的积分问题也就解决了。 * 对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用. 定理 * 部分分式(最简分式). （1）分母中若有因式 ，则分解后为 注：有理函数化为部分分式之和的一般规律： 如对 进行分解时 一项也不能少，因为通分后分子上是 多项式，可得到k个方程，定出k个系数，否则将 会得到矛盾的结果。 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 * 用此定理有理函数的积分就易计算了. 且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数. 注 系数的确定,一般有两种方法: (1) 等式两边同次幂系数相等; (2) 赋值; * 例 求 解 由多项式除法,有 说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分. 假分式 * 例 求 解 比较系数 * 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例 求 解 (1) (1) 赋值 * 于是 * 例 求 解 比较系数 二次质因式 * * 注 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列 其中A,B, a, p, q都为常数, 分别讨论上述几种类型的不定积分. 并设 四种典型部分分式的积分之和. n为大于1的正整数. * * * 解 例 分母是二次质因式的真分式的不定积分 * * 用递推公式 * 应重点提高计算的 (1) 部分分式法; 此法一般运算较繁. (2) 拆项法; (分项积分法) (3) 换元法; (4) 配方法. 有理函数积分是三角函数有理式积分、 无理函数积分的基础, 熟练程度和技巧, 一般有以下方法: * 例 求 分析 解 原式= 分项 凑微分 从理论上看, 可用部分分式法, 但计算复杂, 故不宜轻易使用, 应尽量考虑其它方法. 约去公因子 配方 * 例 求 解 是二次质因式, 原式= 递推公式 法一 不能再分解. * 求 解 原式= 回代 递推公式 法二 * 例 求 解 原式= 这是有理函数的积分. 如按部分分式法很麻烦. 使分母为单项, 作变换 分析 分母是100 次多项式, 如作一个适当的变换, 而分子为多项,除一下,化为和差 的积分. * 或 分项 ò ò ò - + - - - = 100 99 98 ) 1 ( d ) 1 ( d 2