2012数学建模D机械人避障问题研究.docVIP

机器人避障问题研究论文 摘要 本文主要以机器人在有12个障碍物的区域如何避障及制定行进路径为研究对象，在研究过程中建立了最优化模型，利用了LINGO编程求解并利用了MATLAB绘制区域实体图和行进路径，验证了结果的正确性。 对于问题一，主要计算O→A和O→A→B的最短路径。在计算O→A的最短路径时，首先利用覆盖法确定O→A的最短路径；其次，采用分段计算的方法，将路径分为两条直线段和一条圆弧进行计算；最后，分别利用勾股定理和弧长定理计算出两条直线段和圆弧的长度。建立O→A的最短路径优化模型，通过LINGO编程求解得出，机器人从O→A行走的最短路径总距离为471.0372个单位，总时间为96.01764秒，圆弧的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210）。利用MATLAB绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。在计算O→A→B的最短路径时，由于A点为转折点，因此通过圆弧穿过A点。通过勾股定理和圆的方程得出各切点和圆弧圆心之间的关系。建立O→A→B的最短路径优化模型，通过LINGO编程求解得出，机器人从O→A→B行走的最短路径总距离为471.0372个单位，总时间为96.01764秒，圆弧一的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210），圆弧二的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210），圆弧三的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210），圆弧四的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210）。利用MATLAB绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。 对于问题二，主要计算O→A的最短时间路径。由于涉及最短时间，所以同时考虑距离和速度，通过观察发现，机器人在圆弧上行走时速度随圆弧半径的增大不断增大。因此，在O→A的路径尽量短的前提下，尽量增大圆弧半径的长度。同问题一的方法，O→A的最短时间路径也是由两条直线段和一条圆弧组成的。建立最短时间路径优化模型，通过LINGO编程求解得出，机器人从O→A行走的最短时间路径总距离为471.1290个单位，总时间为94.22825秒，圆弧的起点坐标为（69.80454，211.9779），终点坐标为（77.74918，220.1387），圆心坐标为（82.1414，207.9153）。利用MATLAB绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。 关键词 避障 最优化模型 编程 绘图 1 问题重述 1.1问题背景 一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为，其中是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。 1.2问题提出 根据上述背景，假设场景图中有4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，以此对机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径进行研究，提出以下问题： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、和O→A→B的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。 2 问题分析 2.1问题一 根据题意，问题一O→A与O→A→B之间的最短路径需从两方面进行分析。首先需要根据问题给出已知条件选取从O点到A点的最短路径。然后对最短路径的长度，以及对圆弧的起点坐标、终点坐标、圆弧的长度和圆弧的圆心坐标进行求解。 2.1.1对O→A路径进行分析 1）确定选取路径的的目标，即选取一条最短距离的路径。 2）机器人行走转弯时，通过一段与直线路径相切的弧度来完成，不能折线转弯