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定积分与微积分定理 1．定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。 说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限： （3）曲边图形面积：；变速运动路程； 变力做功 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）． 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。 考察和式 不妨设 于是和式即为 阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积） 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 （定积分的线性性质）性质4 （定积分对积分区间的可加性） 说明：①推广： ②推广: ③性质解释： 性质4性质1 性质4 性质1 2.微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式 定理：如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用， 说明： = 1 \* GB3 ①它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题。我们可以用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分. = 2 \* GB3 ②它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。 思考并回答下列问题： = 1 \* GB3 ①与函数f(x)相对应F(x)的唯一吗？如果不唯一，它们之间什么关系？原函数的选择影响最后的计算结果吗？ = 2 \* GB3 ②计算定积分的关键是什么？ = 3 \* GB3 ③寻找函数f(x)的原函数F(X)的方法是什么？ = 4 \* GB3 ④利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数 典例分析 例1．计算定积分 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。 12y 1 2 y x o 思考：若改为计算定积分呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 1. （2014·湖北高考理科·Ｔ6）若函数 EQ f(x)， 满足，则称 EQ f(x)，为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数： ①；②；③ 其中为区间的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【解题提示】 考查微积分基本定理的运用 【解析】选C. 对 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，，则、为区间上的正交函数； 对 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，，则、不为区间上的正交函数； 对 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③，，则、为区间上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组. 2.（2014·山东高考理科·Ｔ6）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A、 B、 C、2 D、4 【解题指南】 本题考查了定积分的应用，先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】选D.由，得交点为， 所以，故选D. 3.(2014·陕西高考理科·T3)定积分 QUOTE \* MERGEFORMAT (2x+ex)dx的值为　(　　) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 【解题指南】求出被积函数2x+ex的原函数,然后根据定积分的定义解之. 【解析】选C. QUOTE \* MERGEFORMAT (2x+ex)dx=(x2+ex) QUOTE \* MERGEFORMAT =1+e-1=e. 4.（2014·福建高考理科·Ｔ14）如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______. 【解题指