第12章 常微分方程(组)数值求解方程与方程组的数值解.pptVIP

* 二、 求解案例 【例12.5-3】的结果图： * 华文行楷，字号88，颜色红，位于每一章的第一节的最前面。　不使用动画 常微分方程数值解 ? 吴鹏, MATLAB从零到进阶. * 常微分方程（组）数值求解 吴鹏（rocwoods） rocwoods@126.com MATLAB从零到进阶 * 主要内容 数值求解常微分方程（组）函数概述 非刚性/刚性常微分方程问题求解 隐式微分方程（组）求解 微分代数方程(DAE)与延迟微分方程(DDE)求解 边值问题求解 * 第一节数值求解常微分方程（组）函数概述 * 一、 概述 第9章介绍了符号求解各类型的微分方程组，但是能够求得解析解的微分方程往往只是出现在大学课堂上，在实际应用中，绝大多数微分方程（组）无法求得解析解。这就需要利用数值方法求解。MATLAB以数值计算见长，提供了一系列数值求解微分方程的函数。 这些函数可以求解非刚性问题，刚性问题，隐式微分方程，微分代数方程等初值问题，也可以求解延迟微分方程，以及边值问题等。 * 二、初值问题求解函数 1. 提供的函数 ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb，这些函数统一的调用格式如下： [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) sol = solver(odefun,[t0 tf],y0...) 输入参数说明： odefun 表示微分方程（组）的句柄。 tspan 微分方程（组）的求解时间区间，有两种格式[t0,tf]或者[t0,t1,…,tf]，两者都以t0为初值点，根据tf自动选择积分步长。前者返回实际求解过程中所有求解的时间点上的解，而后者只返回设定的时间点上的解。后者对计算效率没有太大影响，但是求解大型问题时，可以减少内存存储。 * 二、初值问题求解函数 y0 ：微分方程（组）的初值，即所有状态变量在t0时刻的值。 options 结构体，通过odeset设置得到的微分优化参数。 返回参数说明： T：时间点组成的列向量 Y：微分方程（组）的解矩阵，每一行对应相应T的该行上时间点的微分方程（组）的解。 sol：以结构体的形式返回解。 * 二、初值问题求解函数 2. 函数介绍 函数 问题类型 精确度 说明 ode45 非刚性 中等 采用算法为4-5阶Runge-Kutta法，大多数情况下首选的函数 ode23 非刚性 低 基于 Bogacki-Shampine 2-3阶Runge-Kutta 公式，在精度要求不高的场合，以及对于轻度刚性方程，ode23的效率可能好于ode45。 ode113 非刚性 低到高 基于变阶次Adams-Bashforth-Moutlon PECE算法。在对误差要求严格的场合或者输入参数odefun代表的函数本身计算量很大情况下比ode45效率高。ode113可以看成一个多步解算器，因为它会利用前几次时间节点上的解计算当前时间节点的解。因此它不适应于非连续系统。 * 二、初值问题求解函数 ode15s 刚性 低到中 基于数值差分公式(后向差分公式，BDFs也叫Gear方法)，因此效率不是很高。同ode113一样，ode15s也是一个多步计算器。当ode45求解失败，或者非常慢，并且怀疑问题是刚性的，或者求解微分代数问题时可以考虑用ode15s ode23s 刚性 低 基于修正的二阶Rosenbrock公式。由于是单步解算器，当精度要求不高时，它效率可能会高于ode15s。它可以解决一些ode15s求解起来效率不太高的刚性问题。 ode23t 适度刚性 低 ode23t可以用来求解微分代数方程。 ode23tb 刚性 低 当方程是刚性的，并且求解要求精度不高时可以使用。 * 三、 延迟问题以及边值问题求解函数 1. 延迟问题 MATLAB提供了dde23和ddesd函数用来求解。前者用来求解状态变量延迟为常数的微分方程（组），后者用来求解状态变量延迟不为常数的微分方程（组）。调用格式以及参数意义大部分类似ode系列求解函数，不同的是要输入延迟参数以及系统在时间小于初值时的状态函数。 2. 边值问题 两个求解函数函数bvp4c和bvp5c,后者求解精度要比前者好。以bvpsolver表示bvp4c或者bvp5c，那么这两个函数有着统一的调用格式： solinit = bvpinit(x, yinit, params) sol = bvpsolver(odefun,bcfun,solinit) sol = bvpsolver(odefun,bcfun,