多元函数的极限与连续.pptVIP

* 例4 求极限 解 其中 用夹逼定理. 所以 * 解 故 原式 = * 设函数 证明: 当P(x, y)沿x轴的方向 当P(x, y)沿y轴的方向 也有 证 函数的极限不存在. 无限接近点(0,0)时, 同样, 无限接近点(0,0)时, 例4 * 函数的极限存在且相等. 当P (x, y) 沿直线 y = kx 的方向 其值随 k 的不同而变化. 所以, 极限不存在. 说明函数取上面两个 无限接近于 点(0,0)时, 另一方面, 无限接近点(0,0)时, 设函数 证明: 函数的极限不存在. 特殊方向 * 极限 是否存在? 取 解 当P(x, y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时, 当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时, 错! 所以 * 极限不存在. 取 极限 是否存在? 此时可断言 f (x, y)在点P0(x0, y0) 找两种不同趋近方式, 但两者不相等, 处极限不存在. 当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时, 还有别的方法? * 求极限 解 将分母有理化, 得 * 求 答: 0 答:不存在. 答:不存在. 二次极限都不存在时, 注 存在. 二次极限与二重极限有本质的区别, 但二重极限也可能 二次极限 与二重极限是两个不同的概念. * 四、多元函数的连续性 设二元函数 f (P ) = f (x, y)的定义域为D, 则称函数f (x, y)在点P0(x0, y0)连续. 定义8.3 如果 如果函数 f (x, y)在D的每一点处都连续, 连续函数. P0 (x0, y0)是D的聚点, 例如, 函数 在(x, y)平面上 处处连续. 如果对于任意给定的 P的去心邻域 内总有E中的点(P本身可属于E, 也可不属于E ), 则称P 是E的聚点. 则称 函数 f (x, y)在D上连续, 或者称函数 f (x, y)是D上的 * 例 5 证 令 证明: f ( x, y)在点(0,0)连续. 显然有 于是 所以f ( x, y)在点(0,0)连续. * 设函数 f (x, y)的定义域为D, 则称点P0(x0, y0)为函数f (x, y)的间断点. 定义8.4 是D的聚点, P0 (x0, y0) 如果函数 f (x, y)在点P0 (x0, y0)不连续, 的间断线. (0,0)是函数 的(0,0)点是该函数的间断点. 函数 函数的极限不存在, 前面已证) 例如, 的间断点; 是函数 例如, * 在空间直角坐标系下, 平面区域E上的二元连 续函数 z = f (x, y)的图形是在E上的一张“无孔无缝” 的连续曲面. (分母不为零)及复合仍是连续的. 同一元函数一样, 多元函数的和、差、积、商 每个自变量的基本 式子表达的函数称为 初等函数经有限次四则运算和有限次复合, 由一个 指包含在定义域内的区域或闭区域. 一切多元初等函数在其定义区域内是 结论 连续的. 多元初等函数. * 例6 求极限 解 是初等函数, 而(1,0)在其定义域内, 故 f (x, y)在(1,0)点处连续, 所以 由多元初等函数的连续性, 代入法 如果要求它在点P0 处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则极限 值就是函数在该点的函数值, 即 * 想一想 如何证明 f (x, y)在 证 xOy面上处处连续 ? 是初等函数, f (x, y)处处连续. 下面证明 也连续. * 又 于是 即证明了f (x, y)在 由于 xOy面上处处连续. 证明 f ( x, y)在 xOy面上处处连续? 从而 f (x, y) 也连续, 夹逼准则 * 有界闭区域上连续的多元函数的性质: 最大值和最小值. 性质8.1(有界性与最大值最小值存在性) 性质8.2(介值存在性) 在有界闭区域上连续的多元函数必有界, 且有 在有界闭区域上连续的多元函数必能取到介 于最大值与最小值之间的任何值. * 五、小结 多元函数的极限 多元函数连续性 有界闭区域上连续多元函数的性质 (与一元函数的极限加以比较: 注意相同点与差异) 多元函数的概念 内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域 平面点集 * 思考题 必定不存在. 是非题 * 思考题 (是非题) 必定不存在. 是 因为对不同的k值, 不同, 不存在. * 作业 习题8.1(第313页) 8.1 多元函数的极限与连续 第8章 多元函数微分法 及其应用 * 第8章 多元函数微分法及其应用 上册已经讨论了一元函数微积分. 但在自然科 学、工程技术和经济生活的众多领域中, 往往涉及 到多个因素之间关系的问题. 这在数学上就表现为 一个变量依赖于多个变量的情形,