第十章第二节_二重积分的计算法.pptVIP

一、利用直角坐标系计算二重积分 注意: 三、小结 二、 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。 即 也即 极坐标系中的面积元素 则 二重积分极坐标表达式 【注意】极坐标系下的面积元素为 直角坐标系下的面积元素为 区别 注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”： 极系下的二重积分化为二次积分 用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 2.二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 （1）极点O在区域D的边界曲线之外时 若区域特征如图 特别地 （2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时 区域特征如图 （1）的特例 3. 极坐标系下区域的面积 区域特征如图 （3）极点O在区域D的边界曲线之内时 （2）的特例 【解】 【解】 x y o 的原函数不是初等函数 ,故本题无法 【注】1.由于 用直角坐标计算. 【注】2. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计中 以及工程上非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例2的结果, 得 ① 故①式成立 . 解 求反常积分 例 显然有 又 夹逼定理 即 所求反常积分 【解】 将直角坐标系下积分: 化为极坐标系下的累次积分. o x y 解 原式= * 一、利用直角坐标计算二重积分 三、小结 思考题 第二节 二重积分的计算法 二、极坐标系下二重积分的计算 【复习与回顾】 回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 体积元素 体积为 在点x处的平行截面的面积为 其中函数 、 在区间 上连续. (1)［X－型域］ 【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 1. 【预备知识】 (2)［Y－型域］ 【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. (3)［既非X－型域也非Y－型域］如图 在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域) 则必须分割. 由二重积分积分区域的可加性得 (1).若积分区域为X－型域： 2.【二重积分公式推导】 【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求. 即得 公式1 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。 注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。 为方便，上式也常记为： 公式2 1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）积分限确定法: “域中做穿线”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 总结、利用直系计算二重积分的步骤 （1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； （3）确定积分限，化为二次定积分； （2）根据积分域类型, 确定积分次序； （4）计算两次定积分，即可得出结果. 【说明】(1)使用公式1必须是X－型域， 公式2必须是 (2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. 则有 (3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域. Y－型域. 4. 【例题部分】 【例1】 【解Ⅰ】 看作X－型域 1 2 o x y y=x y=1 D x 【解Ⅱ】 看作Y－型域 1 2 o x y x = y x=2 D y 1 2 【例2】 【解】 D既是X—型域又是—Y型域 ［法1］ －1 1 1 x o y=x D x y ［法2］ 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便 －1 1 1 y o y=x D －1 x y 注意两种积分次序的计算效果！ 【例3】 【解】 D既是X—型域 又是Y—型域 先求交点 ［法1］ ［法2］ 视为X—型域 计算较繁 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！ 【小结】 以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积) 练习 解 所围平面闭区域. 两曲线的交点 练习 解1 将D看成X型区域 练习 解2 将D看成Y型区域 D1 D2 第一种