第6章 数值微分(张武).pptVIP

* 数值微分法是不稳定的。 数值分析 第六章 数值微分 张武 上海大学计算机学院 第六章 数值微分 在实际问题中，往往会遇到某函数f(x) 是用表格 表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有: 一. 运用差商求数值微分 运用插值函数求数值微分 三. 运用样条插值函数求数值微分 四. 运用数值积分求数值微分 一. 运用差商求数值微分 最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商. 利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差. 一阶导数的三点公式： 证明: 同样的方法可以得到其它的三点公式是： 二、运用插值函数求数值微分 设Ln(x)是f(x)的过点{x0 ，x1 ，x2 ，…xn }? [a，b]的 n 次插值多项式，由Lagrange插值余项,有对任意给 定的x?[a，b]，总存在如下关系式: 若取数值微分公式 误差为: 因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值 称为n+1点求导公式。 常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式. 当n=1时,有 例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。 当n=2时,有 当节点等距时，即有 x1=x0+h, x2= x0+2h, h0, 上述公式可简化为 有时，也将xi统一表为x0,将上述公式写成如下形式 n=2时，计算 f’(x0)的误差是 O(h2),且（4） 的误差最小。 例2 设f(x)=xex，x0=2，用3点公式计算f’(x0)。 由（6）， f’(2) ≈22.166996，误差为：1.69×10-4 公式(4)计算f’(2)较准确。 用5点公式计算f’(2) ： 当n=4时,可得到5点公式： 5点公式计算f’(x0)的误差是O(h4),且中点公式（6）的误差小于端点公式（7）。 在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断 误差，而且还要考虑公式的舍入误差。 计算f ’(x0)的总误差是： 从截断误差 (h2/6)f(3)(ξ1）的角度看，h 越小误差越小。但从舍入误差的角度看，h不能太小。 误差界为：e(h)=e/h +(h2/6)M, 这里 e=max︱e(x0±h) ︱,M= max ︱ f(3)(x)︱ 例3 设 f(x)=sin x ，计算f’(0.900)=cos0.900的近似值。 解：利用公式 三. 运用样条插值函数求数值微分 用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值. 四. 运用数值积分求数值微分 得到 解：将数值积分公式代入 试导出以下数值微分公式,并估计截断误差. * 在[x0,x1]中，算左端点的导数用向前差商公式，算右端点的导数用向后差商公式。 * 显然，用向前差商公式计算结果要好些。 * 公式（3）、（5）通常用来计算端点的导数，如固支边界条件。 * 固支3次样条的边界条件，可用公式（7）确定。 * f(3)(x0)=3[f((x0+2h)-f((x0-2h)-f((x0+h)+f((x0-h)]/(4h3)+O(h2) 想一想，如何求f(3)(x0)?