第八章 数学思维与数学能力的培养.pptVIP

第八章 数学思维与数学能力的培养 第一节 数学思维及其品质 “问题是数学的心脏”。它促使数学发现、推动数学的发展。没有问题就不会导致数学的思维。数学思维主要地表现在数学问题解决过程中。希尔伯特说：“正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。” 保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos，1916.3. 3-2006.10.2），生于匈牙利美国数学家，主要研究概率论（特别是Ergodic theory）、统计学和泛函分析（特别是希尔伯特空间及算子理论）。 使用“iff”来表示“if and only if”（当且仅当）有时认为是哈尔莫斯的功劳，但哈尔莫斯说他只是借用的。使用#（墓碑符号）来表示证毕(Q.E.D.)是由他开始用的，故这个符号有时叫哈尔莫斯。 保罗.哈尔莫斯曾指出：“学习数学的唯一方法是做数学。”这与著名数学教育家汉斯.弗赖登塔尔的“再创造”理论不谋而合，是新课程标准所倡导的教学原则。 “我确信，穆尔教学法是教任何事情和所有东西的正确方法----它培养能理解和运用他们所学的知识的学生，它肯定还在学生中逐渐培养研究的态度----对所有的事情提出问题并要主动地得知其答案----而那不仅在数学研究中都是一件好事。”??（哈尔莫斯《我要做数学家》) 数学思维三个主要特征间的关系（相互联结） * * * * 思维：具有意识的人脑对客观事物的本质属性和内部规律性的概括性和间接性的反应。 数学思维：以数和形为思维对象，以数学语言和数学符号为载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。实质上是数学活动的思维。 一、思维与数学思维 数学思维从属一般思维，具有一般思维的根本特征，又有自己的个性。 数学思维的特性主要是： 数学学习或研究应该是数学思维过程和数学思维结果着两者的综合。数学知识是数学思维活动的产物。 学生学习数学、解决数学问题时所运用的是数学思维。 数学思维的概括性 数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。 数学思维的问题性 是与数学知识的问题性相连结的。数学思维就是解决数学问题的心智活动，数学思维总是指向于问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，而使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。 大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862年1月23日—1943年2月14日），德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于哥尼斯堡，1943年在德国哥廷根逝世。他因为发明和发展了大量的思想观念（例如：不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间）而被尊为伟大的数学家、科学家。希尔伯特和他的学生为形成量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献。他还是证明论、数理逻辑、区分数学与元数学之差别的奠基人之一。 因此，问题形式数学思维活动的中心。 重视问题的分析、解决、应用、推广是数学思维问题性的精髓。 数学思维的相似性 是思维相似律在数学思维活动中的反映。数学的发展就其思维活动的规律而言，是对各种事物建立起的数学模式的探求。数学思维的相似性是对数学问题之间以及问题本身的条件与结论之间的同与异这个矛盾的分析和转化。相似性是数学思维的一个重要的特征。 问题性 概括性 相似性 概括性 问题性 相似性 相似性 概括性 问题性 二、数学思维的分类 数学思维方式 逻辑思维 （抽象思维） 形象思维 直觉思维 1、数学思维方式按照思维活动的形式分类 2、数学思维方式按照思维指向分类 数学思维方式 集中思维 发散思维 3、思维的敏捷性 定义：思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度，它表现为思考问题时敏锐地快速反应。 思维敏捷性的特点： 正确性 速度 敏捷性是以准确为前提 敏捷性的重要表现是善于运用直觉思维，善于把问题转换化归，善于使用数学模式 具备思维敏捷性的条件： 掌握扎实的基础知识和熟练的基本技能，正确的领会知识，把我问题的实质，达到融会贯通 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去逝。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出 贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，