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第二章 二维线性系统 本章主要内容 1、线性系统 2、线性不变系统 3、抽样定理 1、线性系统 用算符 描述系统的作用！ 1）系统的数学表示 1、线性系统 2）线性系统的定义 若对于任意两个输入函数f1和f2 对于任意复数常数a1和a2，均有如下关系成立： 则表明该系统是线性系统！ 1、线性系统 图例：线性系统的叠加性质 1、线性系统 3）基元函数的系统响应 （系统是一个线性系统） 一系列的“基元函数”的和 分解 （傅里叶级数展开） （这些基元函数可能是函数、阶跃函数、余弦函数或复指数函数等形式） 对应的“基元函数”响应的和 合成 如何确定基元函数的响应？ 1、线性系统 举例：选取基元函数为脉冲函数 (函数) 根据脉冲函数的筛选性质，可将任意函数分解为： 任意函数都可以看作xy平面上不同位置处的很多函数的线性组合，而每一个位于(,)坐标的函数的权重因子就是函数在该点的数值f(,)。这种分解方法称为脉冲分解。 于是系统的输出为： 由于系统是线性的，系统算符 可以写进积分号内(与积分算符交换顺序)，直接作用到各个基元函数上： 1、线性系统 若令 它表示系统输出平面(x,y)点对应于输入平面坐标(,)点的函数响应，称为系统的脉冲响应。 系统输出： 上式描述了线性系统输入和输出的关系，称其为“叠加积分”； 只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出； 若系统输入和输出满足上述叠加积分关系，该系统必然是线性系统。 2、线性不变系统 1）线性不变系统——线性系统的一个子类 根据“叠加积分”原理，只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出。但是，要得到输入平面上所有可能位置上的脉冲响应是非常困难的，甚至是不可能的。 2）线性不变系统的定义 若 一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生了相应位移，这样的系统称为空间不变系统或位移不变系统。 若 若输入脉冲延迟时间，其相应h仅仅有相应的时间延迟，而函数形式不变，这样的系统称为时不变系统。 2、线性不变系统 叠加积分： 卷积积分： 对于线性不变系统，系统的作用可以用统一的一个脉冲响应函数来表征，系统的分析得到简化！ 2、线性不变系统 3）线性不变系统的传递函数 卷积定理 输入频谱 输出频谱 传递函数 从空间域入手计算系统的输出 从频率域入手计算系统的输出 * 传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换. 2、线性不变系统 对于线性不变系统，可以找到更适合的“基元函数”，即复指数函数。 根据傅里叶逆变换有： 当f(x,y)作为输入时，系统输出为： 上式表明函数f(x,y)可以看成是很多不同频率的复指数函数的线性组合，F(fx,fy)表示各种频率成分的权重，这种分解方法称为傅里叶分解。 同理，根据线性叠加性质，有 根据傅里叶逆变换有 ？ 2、线性不变系统 把输入函数分解为各种不同频率的复指数函数的线性组合，各个基元复指数函数通过线性不变系统，仍然还是同频率的复指数函数，但是可能产生与频率有关的幅值变化和相移，这些变化取决于系统的传递函数。 2、线性不变系统 4）线性不变系统的本征函数 什么叫本征函数？ 对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入函数与一个复比例常数的乘积，那么这个输入函数就称为这种系统的本征函数。 (K是一复比例常数) 课后思考题 试证明：复指数函数就是线性不变系统的本征函数，即 2、线性不变系统 5）线性不变系统作为滤波器 （滤波函数） 系统级连（滤波器相连） 3、抽样定理 1）在实现信息的记录、存储、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量，一个连续函数往往要用它在一些分立的取样点上的函数值，即抽样值表示。如何选择抽样间隔，不丢失信息，并能恢复出原有连续函数？这就是抽样定理要研究的问题。 2）函数的抽样 利用梳状函数对连续函数g(x,y)抽样，有 抽样函数由函数的阵列构成，各个空间脉冲在x方向和y方向的间距分别是X和Y。根据卷积定理，抽样函数的频谱为 3、抽样定理 原函数的频谱 抽样函数的频谱 2Bx 2By 假定g(x,y)是限带函数，其频谱Gs仅在频率平面一个有限区域R内不为零。若2Bx和2By分别表示包围R的最小矩形在fx和fy方向上的宽度，则只要 或 Gs中各个频谱区域就不会出现混叠现象；这样，就可以使用滤波的方法，从Gs中抽取出原函数的频谱G，从而恢复出原函数。 3、抽样定理 因此，能由抽样值还原原函数的条件就是： 1)g(x,y)是限带函数； 2)在x,y方向抽样点最大允许间隔分别是1/2Bx和1/2By，其中2Bx和2By是包围G(fx,fy)的最小矩形