第一讲 高等代数选讲之多项式理论.pptVIP

例3设 是非零实系数多项式， 是一个正整数，且 ，则 为零次多项式或者 。 由于 所以存在 ，使得 将上式代入得 两边消去 ，得 由上式得 ，但 ，故 这样继续下去有 ，由于 所以 ，其中 为非零常数。 故 从而 也是 与 的一个最大公因式。 则有 例：对任意非负整数 ，令 证明： 六、不可约多项式的判定与证明 1、不可约多项式的概念 如果数域P上次数大于零的多项式 不能表示成数域P上两个次数比它低的多项式的乘积，则称 是数域P上的不可约多项式。 注 ① 零多项式与零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的。 ② 多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关。 ③ 互素多项式指的是 上的两个多项式之间的一种关系，而不可约多项式是某个多项式本身的一种特性，这是完全不同的两个概念，但在讨论问题时，互素多项式与不可约多项式的性质又是互相利用的，要学会灵活运用。 2、不可约多项式的性质 （1）如果 是数域P上的不可约多项式，则 也是P上的不可约多项式，其中 是P中的非零数。 （2）如果 是数域P上的不可约多项式，则对P上的任一多项式 ，必有 或 （3）如果 是数域P上的不可约多项式， 是P上的任意两个多项式，若 ，则必有 或 （4）如果不可约多项式 整除 其中 ，则 至少可以整除这些多项式中的某一个。 3、不同数域上的不可约多项式 在复数域上，不可约多项式只能是一次式；在实数域上，不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二次式；在有理数域上，存在任意次的不可约多项式。 （2）爱森斯坦判别法； （1）对于2次和3次有理多项式 ，如果 没有有 理根，则 在有理数域上不可约，但当次数大于3 时，结论不再成立。如 没有有理根，但它 在有理数域上是可约的。 4、有理系数多项式可约性判别 设 是一个整系数多项式 如果存在素数 ，使 则 在有理数域上不可约。 注意：爱森斯坦判别法只是给出了一个有理系数多项式不可 约的充分条件，所以，如果找不到满足条件的素数 ，则 不能确定定多项式是否可约。 为了扩大爱森斯坦判别法的使用范围，有以下两个结论 结论1：令 ，则整系数多项式 在有理数域上有相同的可约性。 结论2：令 ， 则整系数多项式 在有理数域上有相同的可约性，其中 例1、证明：有理系数多项式 在有理数域上不可约的充分必要条件是，对任意有理数 和 ，多项式 在有理数域上不可约。 证 必要性 已知 不可约，假设 在有理数域上可约，即 其中 是有理系数多项式，且次数小于 的 有理系数多项式，次数不变，且有 次数，在上式中用 代 ，所得各多项式仍为 这说明 在有理数域上可约，矛盾。故 在有理数域上不可约。 其中 是有理数域上次数小于 的多项式，由此可得 这与 不可约矛盾。故