第2章密度矩阵.pdfVIP

1、密度矩阵 前言 激活介质包含有大量的原子(或分子或其他微观粒子) 。在讨 论激活介质辐射场的相互作用时，我们只能给定宏观条件(例 如知道气体激光器中的放电电流、气体压强等) 。但是宏观条 件确定之后，微观运动状态的各种可能性仍然很多，每一个 原子可以处于一切可能的微观态，并不能被宏观条件所控制。 所以，不能将激活介质当做一个整体而赋于确定的随时间而 变化的波函数。这样，即使知道了介质的初始分布，也不可 能求出以后某一时刻的波函数。 但是在研究激活介质和辐射场相互作用的宏观性质时，可以利 用统计规律性。由于在给定的宏观条件下，激活介质中原子的 状态有一固定的初始分布。可以通过求得在给定的时间间隔和 给定的空间体积内、原子系统被激发到两个能级中的一个或另 一个，并且其速度分量在给定范围内的几率，再对构成激活介 质的所有原子系统取平均值来求得介质对辐射场的影响。在这 种情况下，即讨论量子力学系综的统计性质时，会涉及到两种 平均：一种是按状态的平均，此为量子力学平均；另一种是将 此结果再按微观态出现的几率求平均，即为统计平均。当同时 涉及到这两种平均时，就可采用密度矩阵的方法来处理。 系统、系综 纯态、混态 按统计物理系综的概念，把一个原子看做一个系统，大量的全 同系统组成一个系综。若系综内的所有系统都处于相同的微观 态，则此系综为纯系综，纯系综的平均就是态平均。若系综 的各系统处于不同的微观态，则此系综被称为混合系综。 假定系综是由N个系统组成，每一个系统由一个归一化的波函数  (r, t)描述 (r,t) a (t)u (q) (1) n n n 式中u (q)为完备正交归一本征函数系；a (t)为系统处于本征态 n n u (q)的几率振幅。 n 纯态密度矩阵 现在考虑系统的某个物理可观察量F 并求出它在系综表示中的 最终平均值。首先考虑纯态的情况。这时，可以由量子力学中 所熟悉的方法求得可观察物理量F 的平均值。 F F  *Fdq (2) 式中q为广义坐标，*为 波函数的复数共轭量。 式(2)的平均是量子力学固有统计性质的结果。 若将式(1)代入式(2)，得 F a *a F (3) F u *Fu dq (4)  m n mn mn  m n m ,n 算符F 的矩阵元 令 nm am * an F  F F T (F ) (5) nm mn r (6) m ,n  F T (F ) nm mn r m ,n 从式(5)可以看出， 起着几率密度的作用，因此称 的集合为 nm nm 密度矩阵， 为密度矩阵元。以上就是纯态的密度矩阵。 nm 混态密度矩阵 多系统几率相等 当系综是由N个系统组成，且N个系统处于不同微观态的几率相同， 每一个系统可以用一个归一化波函数来表示。若第k个原子