东南大学离散数学课件.pptVIP

10.1 群的定义与性质 定义：设G,*是一个代数系统,*是G上的二元运算,如果*在G上成立结合律, a*(b*c)=(a*b)*c 则称G,*为半群。 例 (1)I+,+,I,+,N,+,I+,*,N,*,Q,*等是半群。R+表示正实数集合,R+,+,R+,*是半群。 (2)Mn(R),+是半群, Mn(R) n阶矩阵的全体, +为矩阵加法。 (3)P(A),?是半群。 10.1 群的定义与性质 定义：对于*运算，拥有幺元的半群称为独异点。 例：N,+,0,N,*,1均为独异点。 例：设S为非空集合，P(S)是S的幂集， 则P(S), ∪,?,P(S), ∩,S均为独异点。 而I,max，其中max(x,y)取二者之大值；I,min，其中min(x,y)取二者之小值，均不为独异点 （不存在幺元）。 N,max,0则为独异点，其中幺元为0。 10.1 群的定义与性质 例:设集合Nn={0,1,…,n-1}在Nn上定义运算+n。 (a+nb)+nc=(a+b+c)(mod n) a+n(b+ nc)=(a+b+c)(mod n) 因此,+n在Nn上运算封闭且成立结合律因而Nn,+n是半群。 Nn,+n,0是独异点。 10.1 群的定义与性质 定义：设G,*是半群,且二元运算*还满足。 （1）存在e?G, ?x?G,e*x=x*e=x,即G中存在幺元。 （2） ?x?G,?x-1?G,使x*x-1=x-1*x=e,即每个元素均存在逆元。则称G,*是群。 即群G,*要求 ①运算*满足确定性,封闭性。 ②*满足结合律。 ③G中存在幺元。 ④G中每个元素存在逆元。 10.1 群的定义与性质 例1:〈I,+〉是群,幺元是0,逆元是相反数。 同样〈Q,+〉,〈R,+〉也是群。 例2:〈Mn(R),?〉， ?为矩阵乘法运算 不是群,存在幺元是单位矩阵?n,逆元是逆矩阵,但有的矩阵不存在逆矩阵。 如果Mn(R)的子集Sn(R)=所有可逆矩阵的全体,则〈Sn(R), ?〉是群,其运算封闭,且每个矩阵均存在逆矩阵。 10.1 群的定义与性质 例3:N6,+6,其中N6={0,1,2,3,4,5}，幺元是0, 1+65=0,2+64=0,3+63=0 ?1,5互为逆元,2,4互为逆元,3的逆元是3,0的逆元是0, ?N6,+6是群。 例4:P(A),?,P(A)是A的幂集,?是环和运算，且满足结合律。 因?B?P(A),B??=??B=B, B?B=? 所以幺元是?,每个元素的逆元就是其本身。 10.1 群的定义与性质 10.1 群的定义与性质 由群的定义可知: （1）群具有半群和独异点所具有的所有性质; （2）由于群中存在幺元， ∴在群的运算表中一定没有相同的行和列； （3）在群中，每一个元素均存在逆元且是唯一的（*运算满足结合律），所以群相对半群和独异点来说有一些特殊的性质。 10.1 群的定义与性质 定义 ： 1）若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶。 2）只含单位元的群称为平凡群。 3）若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔群。 10.1 群的定义与性质 群中元素的幂次 定义 ：设G,*是一个群，且a∈G,n∈N，则 （1）a的正幂次定义为：  10.1 群的定义与性质 定义 设G,*是一个群，且a∈G，若存在一个正整数n，能使an=e，则称元素a的阶是有限的，而最小的n称为元素a的阶。若不存在这样的元素n，则称元素a拥有无限阶。 幺元的阶为1， ∵e1=e。 四元群中，e的阶为1； a,b,c的阶都为2。 10.1 群的定义与性质 定理 ：设G为群，则G中的幂运算满足： 10.1 群的定义与性质 2）证明： (a*b)*(b-1 *a-1)=a*(b* b-1)*a-1=a*l*a-1=l (b-1 *a-1) * (a*b) = b-1*(a-1*a)*b = b-1*b =l 所以(a*b)-1=b-1*a-1成立。推广到一般形式有： 10.1 群的定义与性质 定理 ：G,*是群，?a,b?G,方程a*x=b和y*a=b,在G中存在唯一解。 说明: 因为群未必成立交换律 ? a-1*b和b*a-1未必相等 ?a*x=b和y*a=b的解未必相等 10.1 群的定义与性质 例：代数系统G＝P({a,b}), ? 是群。解下列方程： {a} ? x= ?, y ? {a,b}={b} 解：x＝{a}-1 ? ?={a}? ?={a} y={b}? {a,b}-1 ={b}? {a,b}={a} 10.1 群的定义与性质 定理：设G,*是群,则?a,b,c?G