第7章 首次积分与一阶偏.pptVIP

由此推出 的Jacobi行列式 这就证明了在（7.1.28）中的n个任意常数 是相互独立的。因此，式（7.1.28）是微分方程组（7.1.13） 的通解。 另外，由（7.1.26）对 求导易知 其中 我们仍需证明通解（7.1.28）表示了微分方程（7.1.13） 在区间G内的所有解。 为此取微分方程（7.1.13）在区间 G内的任一解 令初始条件 其中 。再令 然后利用隐函数定理，可以从方程 得到微分方程（7.1.13）的一个解 它满足初始条件 （7.1.31） （7.1.32） （7.1.33） 因此，式（7.1.32）和（7.1.33）是微分方程组（7.1.13） 满足同一初始条件的两个解。这样根据解的唯一性定理 推出 即解（7.1.31）可以从通解（7.1.28）得到。 反之作为定理7.1.3的逆命题，我们容易证明下述结论： 设已知微分方程（7.1.13）的通解，则由它可以得到n个 独立的首次积分。 因此，在局部范围内求微分方程（7.1.13）的解等于求它 的n个相互独立的首次积分。 关于首次积分的（局部）存在性，我们有 定理7.1.4 设 其中 的某个邻域 内。则由解对 7.1.3 首次积分的存在性 则存在 的一个 邻域 使得微分方程（7.1.13）在区域 内有 n个相互独立的首次积分。 证明 任取初始条件 （7.1.34） 初值的可微性定理推出，微分方程（7.1.13）满足初始 条件（7.1.34）的解 （7.1.35） 对 是连续可微的，而且Jacobi行列式 。 因此，由（7.1.35）可反解出 得到 其中函数 在 这样一来，我们就得到了微分方程（7.1.13）在区域 内的n个相互独立的首次积分（7.1.36）。 （7.1.36） 内是连续 可微的，而且Jacobi行列式 定理7.1.5 微分方程（7.1.13）最多只有n个相互独立的首 次积分。 证明 设微分方程（7.1.13）有n+1个首次积分 内我们有 （7.1.37） 则由首次积分的充要条件，在某个区域 我们可以将 看成是代数联立方程组（7.1.38） 在区域 内恒等于0.这就是说，任何n+1个首次积分 的一个非零解。从而（7.1.38）的系数行列式 （7.1.37）是函数相关的，亦即它们不是相互独立的。 （7.1.38） 证明 因为（7.1.26）中的首次积分是相互独立的，所以 于是可以从函数组 内它们的Jacobi行列式 其中 可以用（7.1.26）来表达，亦即 是某个连续可微的函数。 在区域 定理7.1.6 设（7.1.26）是微分方程（7.1.13）在区域G内的n个相互独立的首次积分，则在区域G内微分方程（7.1.13）的任何首次积分 （7.1.39） 反解出函数组 然后把它们代入 现在我们只需证明函数上述函数h与x无关。事实上，对 （7.1.41）求导，我们有 以及 因此由（7.1.42）可以得到 得到一个关于变元 的函数h,，即 其中函数V中的变元 由（7.1.40）式给出。 （7.1.40） （7.1.41） （7.1.42） 但是，由于 是微分方程（7.1.13）的n+1个 的Jacobi行列式恒等于0，从而 这就证明了函数h不依赖于x. 因此由（7.1.41）推出 即（7.1.39）式成立。 为了具体求出首次积分，也为了下一节的应用，人们常 把方程组（7.1.13）改写成对称的形式 ， 首次积分，所以由定理7.1.5推出它们关于 这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。更一般地， 人们常把上述对称式写成 内部不同时为零，例如