半导体物理与器件(吕淑媛)课件第2章平衡半导体中的载流子浓度.pptx

第 2 章 平衡半导体中的载流子浓度;　　　　要想掌握任何半导体器件的工作原理，推导出它的电流 电压特性，必须首先能计算出半导体在平衡状态下的电子和空穴两种载流子的浓度，因为电流是由载流子的定向运动产生的。这就是这一章主要要解决的问题。;2. 1 状态密度函数和费米分布函数;当然这些量子态上并不是每一个都有电子，还需要知道载流子在量子态上的分布概率，将状态密度函数和分布函数相乘后得到单位能量间隔内的电子浓度，在整个导带范围内积分后就可以计算出导带电子浓度。空穴浓度的计算也是类似的，将状态密度函数和空穴占据量子态的概率相乘，再对整个价带能量范围积分后可以计算出价带空穴浓度。通过这样的方法可以计算出导带电子浓度和价带空穴浓度。;2. 1. 1 状态密度函数　　状态密度的定义是单位体积、单位能量间隔中存在的量子态数，其定义式为　　为了计算出状态密度，利用了 k 空间的状态分布，先计算出 k 空间的状态密度，再计算出在 k 空间能量分布在 E ~ E +d E 范围内的体积，二者相乘得到了 E ~ E +d E 范围内存在的量子态数 Z ( E )，再代入式( 2.1 )中计算得到状态密度。;　　之所以在计算状态密度时要借用 k空间，是因为量子态在 k 空间是均匀分布的。假设由周期性排列的原子构成三维的晶体结构，类比于一个三维的无限深势阱(这个类比会引入一定的误差，导致实验结果和推导出的理论函数不是完全吻合)，在这个势阱中，与一维无限深势阱的结论类似， k 只能取分立值。当设晶体的周期是 a 时， k x 、 k y 、 k z 将均是 π / a 的整数倍，即有;　　在式( 2. 2 )中 n x 、 n y 、 n z 均只能为正整数，则在 k 空间，k x 、 k y 、 k z 的值是均匀分布的，图 2. 1 为二维 k 空间量子态的分布示意图。在图中，一个黑点表示一个允许的量子态，量子态在 k 空间中是均匀分布的。从图 2.1 中可以看出，相邻两个量子态的间隔为 π / a ，因此在k 空间中可以认为，每个允许的 k 值对应的 k 空间体积为;;　　既然 k 空间中的量子态是均匀分布的，求出能量在 E ~ E +d E 范围内的 k 空间体积就可确定 k 空间的量子态密度，当能量从 E 增加至 E +d E 时，在 k 空间对应的体积增量为 1 / 8×4π k2 dk 。其中 4π k2 dk 是当能量从 E 增加至 E +d E 时，在 k 空间对应的两个球体之间包含的体积；“1 / 8 ”是考虑到 n x 、 n y 、 n z 均只能为正整数，因此只占用了球体的 1 / 8 。结合式( 2.3 )中每一个量子态占据的体积，当能量从 E 增加至 E +d E 时，在 k 空间对应存在的量子态数为式(2. 4 )中的“ 2 ”是考虑到每个量子态可以容纳两个自旋相反的电子而引入的。;;　　式( 2. 8 )给出了在体积为 a3的晶体中能量在 E 到 E +d E 之间的量子态数，按照状态密度的定义，在单位体积、单位能量间隔中的导带电子的状态密度为　　需要说明的是，式( 2. 9 )只在 E ≥ E c 时有效。因此状态密度同时是体积密度和能量密度，是双重密度函数，状态密度的值和载流子的有效质量有关。;　　类似地，也可以推出价带空穴的状态密度函数，在价带的空穴，其 E－k 关系为价带的状态密度函数为同样，式(2. 11 )只在 E ≤ E v 时有效。;　　为了能更直观地看出状态密度函数 g c ( E )、 g v ( E )随 E 的变化规律，在图 2. 2 中画出了g c ( E )、 g v ( E )随着能量 E 的变化规律。在图 2. 2 中，为了和常用的能带图保持一致，将能量E 作为纵坐标，状态密度函数 g c ( E )、 g v E )作为横坐标。从图中可以看出，禁带中不存在量子态，状态密度函数为零，与前面的能带理论的结果一致。当电子有效质量和空穴有效质量相等时， g c (E )和 g v ( E )两支曲线关于禁带中央对称分布。一般的情况下，电子有效质量不等于空穴有效质量，因而这两支曲线也不对称。;;　　 [例 2.1 ] 当室温 T =300K 时，在半导体材料硅中，计算从 E c 到 E c + kT 之间包含的量子态总数。　　解:根据导带电子的状态密度公式;2. 1. 2 费米 狄拉克分布函数　　在求出了状态密度函数后，就明确了在已知能量范围内存在的量子态数目，要了解电子在量子态上的分布情况，还需了解电子在量子态上的分布概率。因为这是一个包含大量粒子的系统，没办法掌握其中每个粒子运动的规律，只能确定其整体的统计特征，晶体