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多元方差分析(MANOVA) 讲解：第八小组 第一部分：MANOVA原理讲解 ——刘晓雪 第二部分：MANOVA与ANOVA之比较 ——胡凤琴 第三部分：MANOVA实际操作(以SPSS为例) ——李硕 t检验：对同一总体中的两个样本的平均数进行评估。 方差分析（one-way ANOVA）：通过分解样本方差，比较若干个（n2）样本均值的统计方法，主要用于鉴别一种因素（自变量）对所研究变量（响应变量）的影响大小。 多因素方差分析(two or more-way ANOVA)：两个或两个以上自变量的变化对某一响应变量的变化是如何反应的。 t-Test, ANOVA, 以及MAVOVA 多元方差分析的数据要求和基本假设（应用条件） （一）、多元方差对数据的特殊要求 1、响应变量之间有相关关系 响应变量之间应该是线性关系 响应变量之间若不是线性关系，则应 把非线性关系线性化 2、多元方差分析要求较大的总样本量， 且每一处理有足够重复，并且不能出 现大量缺失量测值（若数据缺失较 多，不宜取得显著的结果），各组样 本数不应差别太大。 （二）、多元方差分析的基本假设 1 数据来自随机样本，观察值间独立。 2 各响应变量的联合分布为多元正态分布。 3 每个样本的协方差矩阵均相同 4 响应变量间存在线性相关关系 5 各样本的样本量尽量大一点，且各组的样本数应尽量接近。 假设条件的注意事项： 由于每个变量是正态分布并不能保证它们的联合分布也是正态分布，但多元方差分析对于多元正态分布要求不严苛，可以弱化为每个反应变量服从正态分布即可。 分析原理：多元方差分析（p个响应变量，n个因子水平） 检验统计量的计算 单因子多元方差分析： SSCPT= H+E 检验统计量的计算 多元方差分析的四个检验统计量 1.Pillai’s trace Pillai’s trace = trace[H(H+E)-1] 2.Hotelling-Lawley’s trace Hotelling-Lawley’s trace = trace(HE-1) 3.Wilk’s lambda Wilk’s lambda = |E|/|H+E| 4.Roy’s largest root Roy’s largest root = max(λi) 其中：Pillai’s trace是最为稳定的，值恒为正数，值越大表示该效应对模型的贡献越大。 Hotelling-Lawley’s trace检验矩阵的特征根之和，值越大贡献越大。 Wilk’s lambda 值在0-1之间，值越小贡献越大。 Roy最大根统计量，为检验矩阵特征根中最大值，值越大贡献越大。 多元方差分析小结 在对因变量进行单个方差分析的时候，不能检验出分组差异的情况下，多元方差分析则能够反映出实际中存在的分组差异。 所以这两者之间并无相互引申出对方结果的联系。 MANOVA的强化理解 与ANOVA的比较 （都以one-way为例） One-way ANOVA的原始数据 N=n1+n2+…+ng One-way MANOVA原始数据 N=n1+n2+…+ng ANOVA的原假设 H0：μ1=μ2=…=μg MANOVA的原假设 令 H0：μ1=μ2 =…=μg ANOVA总平均和的分解 MANOVA 总SSCP矩阵T的分解 ANOVA的SS计算示例 SSerror = = 34 MANOVA的SSCP计算示例 E = ANOVA表 MANOVA表 统计显著与否的判断 ANOVA：通过比较计算的F值与查临界值表的F值判断是否显著。 MANOVA：4个统计检验量； 没有与之相对的临界值表； 计算近似的F值，然后判断。 The reason for 4 different statistics and for approximations is that the mathematics of MANOVA get so complicated in some cases that on one has ever been able to solve them. Technically, the math folks can’t figure out the sampling distribution of the F statistic in some multivarite cases. MANOVA的4个检验统计量 1.Pillai’s trace