第二章 弹性力学的基本方程.pptVIP

（在V内） （在V内） （在V内） （4）边界条件 力的边界条件： （在 内） 位移边界条件： （在 内） §2-8 迭加原理 考虑同一物体两组载荷情况: (在 上） (在 上) 位移 第二组: 体力 （在V 内） 面力 (在 上） 第一组: 体力 （在V 内） 位移 面力 (在 上） 对第一组载荷应有 (在V 内) (在 上） (在 上） 对第二组载荷应有 (在V 内) (在 上） (在 上） (在V 内) (在 上） (在 上） 将上面两组关系中的对应方程相加得 若 则 (在 上） 上式表示在体力 及面力 作用下, 约束位移为 弹性力学问题的解为: 应力： 应变： 位移： 对于大变形情况，几何方程将出现二次非线性 项，平衡微分方程将受到变形的影响，因而叠加原 理不再适用。 对于非线性弹性或弹塑性材料，应力-应变关是 非线性的，叠加原理不成立。 §2-9 弹性力学问题解的唯一性原理 唯一性定理： 在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如果物体 的整体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 证明：设对应于同一组载荷 、 和约束条件 存在两组不同的解，分别记为 则 、 (在V 内） (在 上） (在 上） 及 (在V 内） (在 上） (在 上） 将以上两组关系中的对应方程相减，得 (在V 内） (在 上） (在 上） 上式表明，两解之差： 、 和 对应了一个无体力、无面力的自然状态。根据无 初应力假设，在自然状态下，有 可见，应力、应变解是唯一的。 对应无变形状态， 为刚体位移（应力边值问题）或 与之相应的位移 零位移（位移边值问题或混合边值问题）。当限 制刚体位移，则 §2-10 圣维南原理 圣维南原理： 若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力 等效的力系（具有相同的主矢和主矩）代替，则离 此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。 若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系， 则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不 产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力 和变形。 图2-16 根据以上分析，利 用圣维南原理可以放宽 边界条件。 圣维南原理的两种 提法是等价的。 对于薄壁构件 （薄壁杆件或薄壳）， 使用圣维南原理时要 谨慎。 注意： 当载荷作用区域大于物体受力处截面组成部分的 最小尺寸时，圣维南原理无效。 　P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z) 和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级数在Ｐ点处展开： Ａ点： Ｂ点： 　在小变形条件下： 在小变形条件下 同例分析平面yoz和平面zox可得： 方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程 §2-5 广义Hooke定律 1.简单应力状态 简单拉压： 纯剪切： 2.复杂应力状态 3.体积应变 ?　称为体积应变 4.用应变表示应力 同理 令 则 于是 式中 中称为拉梅常数 注意： 是应变张量分量而不是 剪应变分量． 上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律 上式还可进一步写成： §2-6 弹性力学问题的一般提法 我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析 建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动） 微分方程、几何方程和应力-应变关系； 又称纳维叶(Navier)方程。 (1)平衡微分方程 运动微分方程： (2) 几何方程 方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程 (3)应力-应变关系(本构关系) 应力-应变关系(本构关系) 用应变表示的应力-应变关系 三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有 15个未知量15个方程，可以求解。 具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。 （4）边界条件 （ⅰ）应力边界条件 （ⅱ）位移边界条件 （ⅲ）混合边界条件 §2-7 指标表示法 力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用 的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方 程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文 献中，在理论推导采用指标表示。 1. 指标符号 具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的 字母表示。 位移分量： u、v、w可以写成 ，缩写后为 坐标：x、y、z 可以写成 ，缩写