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第七章 立体与立体相交 * 平面体与平面体 平面体与曲面体 曲面体与曲面体 多形体相交 　　两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫作相贯线。本章主要讨论立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。 1.相贯的形式 ★ 共有性 ★ 表面性 相贯线位于两立体的表面上（外表面或内表面）。 相贯线是两立体表面的共有线。 ★ 封闭性 　　相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。 ★ 空间性 相贯线一般是空间曲线，有时也为平面曲线或直线。 2.相贯线的主要性质 ★ 空间分析 1.相贯两立体的表面性质（外表面或内表面）。 3.相贯线作图的一般方法 3.相贯两立体的相对大小。 　　2.相贯两立体相互位置。 　?　相贯线作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。 4.相贯两立体对投影面位置。 ★ 投影作图 描点法，特殊位置点、一般位置点 投影分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1.相贯线的性质 　　两平面体的交线在一般情况下是折线。这条折线可以分裂成两个或更多部分，并且都是直线组成的空间封闭线框。 1.求解方法 ? 棱线法—求各棱线与棱面的交点 ? 棱面法—求各棱面的交线 　　两平面体的交线的各个顶点是一个平面体的棱线与另一平面体的交点，交线的各条线段是两平面体的各棱面间的交线。 ?§7.1 平面体与平面体相交 3. 连线。注意判别交线的可见性，在P面内的交线可见，在Q面内的交线不可见。 PV QV 投影分析 从正面和侧面投影看出，四棱柱的四条棱线都穿过棱锥，所以两立体是全贯的。其交线是两条封闭折线。前面一条是空间折线，是四棱柱与三棱锥的前面两个棱面的交线；后面一条是平面折线，是四棱柱与三棱锥后面棱面的交线。 作图步骤 1. 先求四棱柱的两个水平棱面对三棱锥各棱面的交线。通过四棱柱上下两个棱面作水平面P和Q，P和Q与三棱锥各个棱面的交线分别与三棱锥的底面三角形的三条边平行。 2. 求四棱柱左右两个侧面与三棱锥的交线。可以由四棱柱左右侧面投影的积聚性和步骤1中求出的交线共同确定。 [例题一] 求四棱柱与三棱锥的交线 擦除多余作图线后的结果 1.相贯线的性质 相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的封闭曲线，每一段平面曲线是平面体的棱面与曲面体表面的截交线。平面曲线的交点就是平面体的棱线与曲面体的交点。 2.作图方法 ? 分析各棱面与曲面的相对位置，从而确定交线的形状。 ? 求各棱面与曲面的截交线及棱线与曲面的交点。 ? 连接各段交线，并判断可见性。 　　求交线的实质是求各棱面与曲面的截交线及棱线与曲面的交点。 §7.2 平面体与曲面体相交 投影分析　三棱柱与半球的交线由三条截交线组成。它们的空间形状都是圆弧。由投影可知，三棱柱的最后面的棱面是正平面，前面两个棱面是与正立面倾斜的铅垂面。 作图方法　辅助平面法。用一个正平面来切此模型，则切三棱柱前面的两个棱面分别产生两条交线，切球面的交线为圆弧。棱面上的交线与圆弧的交点就是三棱柱与球面的交线上的点。 RH SH UH TH 作图步骤 １. 求特殊位置点。 ?　求三棱柱各条棱线上的点。 ?　求交线正面投影上虚实的分界点。 ３. 连线。注意轮廓线的可见性。 ２. 求一般位置点。 [例题二] 求三棱柱与半圆球的交线 擦除多余作图线后的结果 1. 相贯线的性质 　　相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。 2.作图方法 ? 利用投影的积聚性直接找点 ? 辅助平面法 ? 先找特殊点 ⒊ 作图过程 ? 补充一般位置点 ? 辅助球面法 ? 连线并判别可见性点 §7.3 曲面体与曲面体相交 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 投影分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。 求相贯线的投影： 采用表面取点法，利用投影积聚性。 ☆ 找特殊点 ☆ 找一般位置点 ☆ 光滑连接 ［例题三］求两圆柱垂直相交的交线 擦除多余作图线后的结果 　　当两圆柱正交时，交线的投影由小圆柱内向大圆柱内弯曲。随着 小圆柱直径增大，大圆柱直径不变，交线弯曲程度越大。当两个圆柱 直径相等时，交线的投影为直线。 讨论：当两圆柱正交时，随着直径变化，相贯线的变化趋势？ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ★ 外形交线 ◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯 ★ 内形交线 ◆ 两内表面相贯 投影分析　这是一个内外形都有圆柱面相交的问题。相交的圆柱