第三节 第一类曲面积分.pptVIP

思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 是 对面积的曲面积分 因为若Ω为直线上的区间[a, b], 则 故 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 对面积的曲面积分 是 若Ω是平面区域G, 则 故 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 对面积的曲面积分 是 若Ω是空间区域, 则 故 思考题 定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为 是非题 是 若Ω为平面(空间)曲线L, 则 对面积的曲面积分 部分和式的极限为曲线积分 * 第三节 第一类曲面积分 surface integral 第十章 曲线积分与曲面积分 曲面的面积 第一类曲面积分的定义 第一类曲面积分的计算法 小结 思考题 作业 一、曲面的面积 空间中一平行四边形S(面积仍为S) 投影到xoy平面上仍为平行四边形σ (1) 平面图形的投影 (面积仍为σ),则 设S以 为邻边,则σ以 为邻边. 对面积的曲面积分 是S的法向量. 且 同理 所以 其中γ为空间平面S的法向量与z轴正向的夹角. 即 对面积的曲面积分 如果S不是平行四边形,而是位于空间中的任何 一个平面图形,则它的面积与它在xoy平面上的 投影图形的面积仍有此关系式: 其中γ为两空间平面图形的法向量的夹角. 结论: (1) 当S的法向量 (2) 当S的法向量 对面积的曲面积分 (2) 设曲面S的方程为： 如图, 设小区域 则有 母线平行于z轴的小柱面, 在xOy面上的投影区域为D, 对面积的曲面积分 曲面S的面积元素 曲面S的面积公式 对面积的曲面积分 (3) 设曲面的方程为 曲面面积公式 曲面面积公式 (2) 设曲面的方程为 曲面面积公式 (1) 设曲面S的方程为 对面积的曲面积分 解 求球面 含在圆柱体 内部的那部分面积. 例1 由对称性知 第一挂限图形 曲面方程 D1 于是, 曲面面积元素为 第一象限部分带xoy平面的投影为 则 对面积的曲面积分 D1 极坐标 对面积的曲面积分 例2 因曲面方程为 所以, o x z y D 解 截下的有限曲面片的面积. 被柱面 求曲面 a 对面积的曲面积分 实例 解 第一步: 将Σ分为许多极其微小的子域, 以dS为代表, dS的质量为: 第二步: 求和取极限 则 取 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动. 光滑的, 它的面密度为连续函数 求它的质量. 对面积的曲面积分 二、第一类曲面积分的概念与性质 1. 定义 函数 f(x, y, z)在Σ上 任意取定的点, 并作和 如果当各小块曲面的直径 这和式的极限存在, 则 的最大值 ① ② ③ ④ 对面积的曲面积分 第i 小块曲面的面积), 作乘积 设曲面Σ是光滑的, 同时也表示 有界. 把Σ 任意分成n小块 或 记为 即 如曲面是 曲面元素 被积函数 则积分号写成 积分曲面 称 极限为函数 对面积的曲面积分 第一类曲面积分. 闭曲面, 对面积的曲面积分 注意: 被积表达式都定义在曲面上,即满足曲面的方程. 2. 存在条件 在光滑曲面Σ上 今后,假定 的曲面积分存在. 对面积 连续, 对面积的曲面积分 3. 对面积的曲面积分的性质 补充 设分片光滑的 x的奇函数 x的偶函数 其中 则 曲面Σ关于x=0(yOz)面对称, 对面积的曲面积分 4. 对面积的曲面积分的几何意义 空间曲面Σ的面积: 5. 对面积的曲面积分的物理意义 面密度为连续函数 的质量M为: 对面积的曲面积分 其质心坐标为: 则 按照曲面的不同情况分为以下三种： 思想是: 化为二重积分计算. (1) 对面积的曲面积分 三、对面积的曲面积分的计算法 注意:若Σ为xoy平面上的闭区域时, 则 则 (2) (3) 对面积的曲面积分 确定投影域并写出 然后算出曲面面积元素; 最后将曲面方程代入被积函数, 对面积的曲面积分时, 首先应根据 化为二 曲面Σ选好投影面, 曲面Σ的方程, 重积分进行计算. 对面积的曲面积分 例3 解 投影域: 所截得的部分. 故 对面积的曲面积分 二重积分的对称性 对称性 例4 计算 解: 则原式= 对面积的曲面积分 思考:若求柱面被球面所截的部分,怎么办? 解 依对称性知 例5 抛物面 有 对面积的曲面积分 被积函数 为第一卦限部分曲面. 极坐标 积分曲面 投影域： 对面积的曲面积分 例6 所围成的空间立体的表面. 对面积的曲面积分 解 投影域 对面积的曲面积分 例 所围成的空间立体的表面. 对称性 (左右两