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第三章 线性平稳时间序列模型 Contents 第一节 线性过程 线性过程的定义 线性过程的因果性 线性过程的可逆性 3.1.3线性过程的可逆性 (invertibility) 第二节 线性平稳时间序列模型的种类 一、自回归模型 二、移动平均模型 三、自回归移动平均模型 四、求和自回归移动平均模型 一、自回归模型（Auto regressive model, AR） 自回归系数多项式 引进滞后算子，中心化 模型又可以为 从而有： 记： 则模型可以表示成： 二、移动平均模型（Moving average model , MA） （一）一阶移动平均模型，MA(1) 如果关于零均值随机序列xt的合适的模型如下： 第二节 ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆性 一、时间序列模型的平稳性和可逆性 三、AR模型的平稳性条件 四、MA模型的可逆性条件 五、ARMA模型的平稳性条件和可逆性条件 一、时间序列模型的平稳性和可逆性 三、AR(p)模型的平稳性条件 AR模型平稳性判别 判别原因 AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的 判别方法 特征根判别法 平稳域判别法 AR(P)的平稳域：使 的根全在单位圆外的AR系数向量（ ）的全体形成的集合。 例 设AR(2)模型： 试判别 的平稳性。 解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以通过两种径进行讨论： 例:考察如下四个模型的平稳性 平稳性判别 AR(2)模型： 试判别 的平稳性？ 例:考察如下MA模型的可逆性 总结： (1)一个平稳的AR(p)过程可以转化为一个无限阶移动平均过程。 (2)一个可逆的MA(q)过程可以转化为一个无限阶的自回归过程。 (3)对于AR(p)过程只须考虑平稳性问题，不必考虑可逆性问题。 (4)对于MA(q)过程，只须考虑可逆性问题，不必考虑平稳性问题。 (二)可逆性 例 求ARMA(1,1)的平稳域和可逆域。 第三节 ARMA模型的传递形式和逆转形式 一、传递形式和逆转形式的概念 二、AR(P)的传递形式 三、ARMA(p,q)的传递形式 四、ARMA(p,q)的逆转形式 一、ARMA模型的传递形式和逆转形式 所谓传递形式：就是将序列xt的当前值，表示为当前冲击值εt 与过去冲击值εt-i(i=1,2,3…)的线性组合。即: 其中，系数函数Gj叫做记忆函数，又叫格林函数(Green’s function)。 可见，纯移动平均模型MA(q)本身就是传递形式。 所谓逆转形式：就是以序列的当前值和过去值的线性组合去表示当前的冲击值εt。 可见，纯自回归模型AR(p)本身就是一种可逆形式。 二、AR(P)模型的传递形式 1.AR(1)模型的传递形式和格林函数 2.AR(2)模型的传递形式和格林函数 3、AR(P)模型的传递形式 三、平稳ARMA(p,q)模型的传递形式 1.ARMA(1,1)模型的传递形式 2.ARMA(2,1)模型的传递形式 四、ARMA(p,q)模型的逆转形式 1.MA(1)模型的逆转形式和逆函数 2.MA(2)模型的逆转形式和逆函数 3.ARMA(1,1)模型的逆转形式和逆函数 可见，ARMA（1，1）的格林函数由两部分决定： （1）AR部分对应的差分方程的解； （2）AR部分及MA部分的参数共同决定的初始值。 思考：ARMA（2，1）的格林数数的形式是什么？ 方程1 的根在单位圆外。 或方程2： 的根在单位圆内。 求AR(1)模型的平稳性条件 AR(1)模型的平稳域 即： 方法一： 方法二： AR(1)模型对应的滞后算子多项式的 特征方程为： AR(1)模型对应的差分方程的 特征方程为： 当 时，AR(1)可表示为一个无限阶的MA过程，即： 此时有： 显然，当 时， AR(1)模型是平稳的。 求AR(2)模型的平稳性条件 对于AR(2)模型 其对应的差分方程的特征方程为： 差分方程的特征根为： 为满足平稳性条件，必须有： 如果 则特征根为复根： 为满足平稳性，要求： AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示 模型 特征根判别 平稳域判别 结论 (1) 平稳 (2) 非 平稳 (3) 平稳 (4) 非 平稳 四、MA(q)模型的可逆性条件 类似前面的结论，一个