第十七章 多元函数微分学.pptVIP

由微分定义 : 定义1. 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 注意： 例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 2. 设 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可偏导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 ? 近似计算 ? 估计误差 绝对误差 相对误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 1. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 利用轮换对称性 , 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 ) 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 * *四、全微分在数值计算中的应用 应用 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 第一节 可微性 二、偏导数 三、可微性条件 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微. 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 得 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 二、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , 警告各位！ 偏导数的符号 不能像一元函数那样将 是一个整体记号， 与 的商。 看成是 若函数 在点 于变量 x 和 y 的偏导数均存在，则称 在区域 ? 内的任 处关 函数 在点 处可偏导。 若函数 一点处均可偏导，则称函数 在区域 ? 内可偏导。 可以看出: 定义 时， 实际上 , 是对函数 变量 y 是不变的, , 将 y 视为常 数 , 关于变量 x 按一元函数导数的定义 进行的。 多元函数的偏导数的计算方法， 没有任何技术性的新东西。 求偏导数时，只要将 n 个自变量 的求导方法进行计算。 自变量均视为常数，然后按一元函数 中的某一个看成变量 , 其余的 n－1个 求偏导数时，只要将 n 个自变量 的求导方法进行计算。 自变量均视为常数，然后按一元函数 中的某一个看成变量 , 其余的 n－1个 求偏导数时，只要将 n 个自变量 中的某一个看成变量 , 其余的 n－1个 自变量均视为常数，然后按一元函数 的求导方法进行计算。 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出) 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 但在该点不一定连续. 上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 证: 例3. 求 的偏导数 . 解: 求证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微