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第四节 隐函数微分法 第四节 隐函数及其微分法 一.一个方程的情形 所确定的隐函数: 上册已经介绍过求导方法 定理1(一元隐函数存在定理) 设F(x,y) 在点 的某邻域内具有连续偏导数,且 则方程F(x,y)=0在该邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),满足 并有: 因为 两边对x求导: 注:1.若存在二阶连续偏导数,则 2.可推广到二元隐函数. 此公式不实用 证: 定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 的某邻域内具有连续偏导数,且 则方程F(x,y,z)=0在该邻域 内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 并有: 所确定的隐函数: 因为 两边分别对 x,y 求偏导: 证: 例1. 求 注意:上述公式和证明方法都可以用做隐函数求导. 解法一: 解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略) 例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 所确定的函数, 且 可微.求 x y t x 隐函数求导 方程 两边对 x 求偏导: 例3. 求 注:上述隐函数存在定理及微分法可以推广到方程组情形. 二.方程组情形 例如 有可能确定两个二元函数. 存在定理略去,只讨论其微分法. 例4. 求 各方程两边对x求偏导: 解方程组得: 例5. 求 各方程两边对x求偏导: 解方程组得: 同理,各方程两边对y求偏导,可得: 思考练习
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