多元一次不定方程的完整讲义和练习.docVIP

二元 一次不定方程 知识要点和基本方法 当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程 一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 解方程 解：由原方程，易得 因此，对的任意一个值，都有一个与之对应，此时与的值必定满足原方程，故这样的与是原方程的一组解，即原方程的解可表为 其中为任意数 整数解问题： 求方程的整数解 解：因为， 所以，不论与取何整数，总有但不能整除8，因此，不论与取何整数，都不可能等于8，即原方程无整数解 定理1：整系数方程有整数解的充分而且必要条件是与的最大公约数能整除 求方程的整数解 解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。 两边约去2后，得故 ，因此，要使取得整数，1=15，，即我们找到方程的一组解设原方程的所有解的表达式为： 代入原方程，得（为整数）2与5互质，所以为整数）由此得到原方程的所有解为（为任意整数） 定理2。若与的最大公约数为1（即与互质），为二元一次整系数不定方程的一组整数解（也称为特解），则的所有解（也称通解）为 其中为任意整数 但不定方程很难直接找到一组整数解 求方程的整数解。 解：由，所以当且仅当是3的倍数时，取得即是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为 （为任意整数） 求方程的整数解 解：由原方程得：要使方程有整数解，必须为整数，取得，故是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为（为任意整数） 例6：若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，则蟋蟀和蜘蛛各有多少只？ 解：设有x只蟋蟀只，蜘蛛y只，则方程6x+8y=46，即3x+4y=23，，变形为 ，又为正整数，且能被3整除，或，把，代入得方程的正整数解为例7：用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有多少种不同的买法？ 解：设买面值为20分的邮票x枚，面值为60分的邮票y枚，则买面值为1元的邮票为枚，根据题意得，即， 由又， 因此可取的正整数值为1，2；当时，,当时，，均符合 正整数解问题 求方程的正整数解。 解：我们知道的所有整数解为为任意整数） 故要求原方程的正整数解，只要使即可，所以，注意到为整数，所以得所有正整数解 求方程的正整数解。 解：原方程可化为，即其中为原方程的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为（为任意整数） 令得：（为整数） 原方程可得无穷多组正整数解（） 求方程的正整数解。 解：如果方程有正整数解，则因此，这个方程无正整数解。 说明：一般地，若方程中，，则这个方程无正整数解。 如果三个既约真分数的分子都加上，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。 解：由题意得，整理得问题转化为求的正整数解。，不定方程有一组整数解它的所有整数解为 为任意整数）令，得不等式组 整数。因此方程有两组正整数解，与为既约真分数，所以是它的唯一解，因此所求的积为 今有36块砖，36人搬，男搬4块，女搬3块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有多少人？ 解：设男、女、小孩分别为人，又题意列方程组：；消去得 ；观察得是方程的一个解；所以方程的通解为 （为整数）。又依题意得；，又为整数，故只有则 答：有男3人，女3人，小孩30人。 一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车32人）。起初每车乘22人，这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来有多少辆汽车？这批游人有多少？ 解：设原有汽车辆，总人数为，由已知条件： 是人数，应为正整数，，或23， 或共有汽车24辆，游人共529人。 求方程的正整数解 解：，应是正整数，故有以下四种可能： 其中第二组和第四组都不是正整数解（舍） 例8：某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位？ 解：设剧场共有x排座位，第一排有个座位，则第排有座位个，根据题意得 ，均为正整数，所以为奇数，且是1000的正约数。的正奇约数只有5，25，125，不合题意，又当时，舍） 当时，，符合题意，答：剧场共有25排座位。 例：一个正整数与13的和为5的倍数，与13的差是6的倍数，求满足条件的最小正整数是多少？ 解：由题意得（是正整数），可得，要使最小，则取最小值，当时，，此时 例：若都是正整数，且求的值。 解：由已知可得，观察可得，于是不定方程的解为为整数），是正整数，，得，知 例：设和大于0的整数，且①若和最大公约数为15，则；②若和的最小公倍数为45，则 解：的最大公约数为15，可令为正整数），由已知得