第二章 一维随机变量及其分布.pptVIP

f (x) 的性质： 图形关于直线 x = ? 对称： f (? + x) = f (? - x) 在 x = ? 时, f (x) 取得最大值 在 x = ?±? 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有 拐点 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状 x f (x) 0 若?1 ?2，则 ，前者取?附近 值的概率更大. x = ? ? ?1 所对应的拐点 　 应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因 素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的， 且这些影响可以叠加, 则X 服从正态分布. 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩； 可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 密度函数的验证 可以验证 标准正态分布N (0,1) 分布函数为 回忆： 怎么计算？ 图形 -x x 对一般的正态分布 N ( ? ,? 2),其分布函数 作变量代换 例5设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 ? X ? 1.6) 解 附表 即由随机变量X来考察Y = g ( X )的概率特性。 4 随机变量函数的分布 引例 已知 X 的概率分布为 X p 　 -1 0 1 2 Y= 2X – 1，那么Y 的分布律为 Y p -3 -1 1 3 设随机变量 X 的分布律为 由已知函数 Y = g ( X )可求出随机变量Y 的所有 可能取值，则Y 的概率分布为 一、离散型随机变量函数的分布 例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y = X 2 的分布律. 解 Y pi 1 0 1 4 Y pi 0 1 4 　　已知随机变量X 的密度函数 f (x) (或分布函数) 求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数. 基本方法的步骤： 二、连续性随机变量函数的分布 先看例子 解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)： 设随机变量 X 具有概率密度： 试求 Y=X-4 的概率密度. 例 2 整理得 Y=X-4 的概率密度为： 本例用到变限的定积分的求导公式： 注意：求Y的密度函数并不需要把Y的分布函数具体求出。 总结一般规律，回节首 例3 已知 X 密度函数为 为常数，且 a ? 0, 求fY( y ). 解 当a 0 时， 当a 0 时， 故 例如，设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 ，若 X ~ N ( ? ,? 2) , 则 例 4 设随机变量 X 具有概率密度 求 Y = X 2 的概率密度.(非单调) 解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y). (2) 可得 例如,设 X~N(0,1),则 Y = X 2 的概率密度为： M.T. 第二章 一维随机变量及其分布 一、随机变量 二、随机变量的分布函数 三、离散型的概率分布律 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布 上一章用集合来表示事件和事件的运算，实现了第一步抽象化、符号化的工作。但在这里，集合中的元素对应的还是随机试验中具体出现的结果。本章首先要作的就是把这些结果和实数对应，相应的变量即为随机变量，则事件对应着相应的数集，进一步的，我们可以把已有的数学工具应用到概率分布问题的研究，从而实现研究方法的函数化，这有利于更好、更深入地揭示随机现象的规律性。看下面简单的例子 　　例: 抛掷一枚硬币的两个结果：｛正面，反面｝，也可以用数字表示：｛ 1，0｝,　这时对应的关系可以反映为一个变量 一、随机变量的概念 1 随机变量及其分布 　　定义 设E是一随机试验，? 是它的样本空间，若对?中的每一个 ,都有唯一的实数 与之对应，则称　　为(随机试验E的)随机变量。 　　随机变量一般用 X, Y , Z ,?或小写希腊字母 ?, ?, ? 表示。 即（映射） 问：定义域和值域分别是什么？ 离散型 连续型 取值为有限个和至多可列个的随机变量. 可以取区间内一切值的随机变量. 例1 (1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点, X(ω): 1 2 　3 4 5 6 (2)某人买彩票直至买中为止，ω表示买入次数，则 ω ：买1次　买2次 ......　买n次 ...... X(ω)：1 2 ...... n ...... (3) 记录下