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现代控制理论 第二章 线性系统状态方程求解 第二章第二章 线性系统状态方程求解线性系统状态方程求解 定量分析激励引起的响应，精确研究系统的运动规 律，输出方程求解要依赖状态方程的解。 ■■线性常定齐次状态方程的解线性常定齐次状态方程的解((★★)) ■状态转移矩阵(★) ■线性常定连续系统非齐次状态方程的解线性常定连续系统非齐次状态方程的解 ■■线性离散系统状态方程的解线性离散系统状态方程的解 现代控制理论 第二章 线性系统状态方程求解 §§22.11 线性常定齐次状态方程的解线性常定齐次状态方程的解  x t ax t 标量方程标量方程：  ( ) ( ) 的解为的解为： 齐次状态方程的解表示齐次状态方程的解表示 x (t) t 0 x (0)  系统在初始条件作用下 x (t) eat x (0) eat —标量指数函数 的自由运动，又称为零 at 11 2 2 11 k k 式中：e 1at  a t ...  a t ... 输入解。 2! k !  xx ((tt)) AxAx ((tt)) 线性常定齐次线性常定齐次  ：  （非强迫方程） 的解为： 状态空间方程 x (t) t 0 x (0)  xx ((tt)) eeA t xx ((00)) （（tt 00）） eeA t ——状态转移矩阵状态转移矩阵((矩阵指数函数矩阵指数函数)) At 1 2 2 1 k k ... 式中：e I At  A t   A t ... 2!! kk !! （证明略） 若初始时刻 t0 0，则齐次状态空间方程的解为： x (t) eA (t t0 ) x (t ) （t t ） 0 0 现代控制理论 第二章 线性系统状态方程求解 §§22.22 状态转移矩阵状态转移矩阵 1.1. 状态转移矩阵状态转移矩阵 （（矩阵指数函数矩阵指数函数））定义定义 At 1 2 2 1 k k ( ) ...  t e I At  A t   A t ... 22!! kk !! 它是n n 的方阵，对于有限的t值绝对收敛。 它反映系统由初始状态它反映系统由初始状态tt((xx ))在在((tt tt ))时间内的状态转移时间内的状态转移。 0