第七章 函数矩阵与矩阵微分方程.pptVIP

北京理工大学高数教研室* 第一章 第一节 函数 第七章 函数矩阵与矩阵微分方程 函数矩阵 定义： 以实变量 的函数为元素的矩阵 称为函数矩阵，其中所有的元素 都是定义在闭区间 上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。 例：已知 计算 定义：设 为一个 阶函数矩阵，如果存在 阶函数矩阵 使得对于任何 都有 那么我们称 在区间 是可逆的。 称 是 的逆矩阵，一般记为 例 ：已知 那么 在区间 上是可逆的，其逆为 函数矩阵可逆的充分必要条件 定理 : 阶矩阵 在区间 上可逆的充分必要条件是 在 上处处不为零，并且 其中 为矩阵 的伴随矩阵。 定义：区间 上的 型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为 的秩。 特别地，设 为区间 上的 阶矩阵函数，如果 的秩为 ，则称 一个满秩矩阵。 注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知 那么 。于是 在任何区间 上的秩都是2。即 是满秩的。但是 在 上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间 包含有原点时， 在 上有零点，从而 是不可逆的 。 函数矩阵对纯量的导数和积分 定义：如果 的所有各元素 在 处有极限，即 其中 为固定常数。则称 在 处有极限，且记为 其中 如果 的各元素 在 处连续，即 则称 在 处连续，且记为 其中 容易验证下面的等式是成立的： 设 则 定义：如果 的所有各元素 在点 处(或在区间 上)可导，便称此函数矩阵 在点 处(或在区间 上)可导，并且记为 函数矩阵的导数运算有下列性质： 是常数矩阵的充分必要条件是 设 均可导，则 设 是 的纯量函数， 是函数矩 阵， 与 均可导，则 特别地，当 是常数 时有 (4) 设 均可导，且 与 是可乘的，则 因为矩阵没有交换律，所以 (5) 如果 与 均可导，则 (6) 设 为矩阵函数， 是 的纯量函数， 与 均可导，则 定义： 如果函数矩阵 的所有各元素 在 上可积，则称 在 上可积，