反比例函数的神奇.docxVIP

让我们一起领略反比例函数的神奇 一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟 1.为何正比例函数的比例系数是比，而反比例函数的比例系数却不是比？ 2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至 多探究一下的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究 通法”，并非专门深入研究反比例函数. 3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开 多元方程、分式方程、高次方程. 4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来 了解数学本质！做到居高临下、解有依据！ 5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积 比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题 某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，的顶点(，)，双曲线经过 点、，当以、、为顶点的三角形与的相似时，则 . 1.常规性解法： 通过设元，例如设(，)，则(，)，再根据条件列方程： (1)利用、、或列方程； (2)利用列方程； (3)利用“一线三等角”模型、和列方程. 实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具 备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题 (1)实际上，此图中含有一些很重要的性质： 过点作轴于，连接，直线分别交 坐标轴于点、. 则有①∥； ②，； ③，. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）： 由，可得，， 即，于是，，…… (3)我一个同事的解法（斜边转直比）： 由，可得，， 转为横比，，因此，…… (4)我一个学生的解法（斜等转直等）： 由得，则，…… (5)我的第二种解法（平行导角度）： 由∥得，，于是，…… (6)下面我们要着重解决两件事： ①上述性质是否永远成立？如何证明？ ②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍. 三、探究性质 1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、. ①如图1，若，则 ； ②如图2，若，则 ； ③如图3，若，则 ， 直线与的位置关系是 ，与的大小关系 . 图1 图2 图3 2.①如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于 点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系. ②如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于， 轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及 线段与的大小关系. 图1 图2 四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长 1.如图，直线反比例函数()图象交直线 于点、，且， 则的值为 . (1)常规方法（斜长转直长）： ，则， 可设(，)，则(，)，列方程解决； (2)口算巧解（斜边转直比）： 由，得，，转为横比得， ，则，，…… 2.同类变式题： 如图，直线交坐标轴于点、， 双曲线交直线于点、. 若，则的值为 ； 3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29） 如图，点(，)，，在双曲线上，，分别交，轴于，， 分别交，轴于，. (1)求的面积； (2)求证：. 4.原创清新小题和近年的中考题： (1)如图1，，的面积为，则的值为 . (2)如图2，点，在双曲线上运动，轴，. ①在运动过程中，的面积是不是定值？答： ； ②若，且是正三角形，则点的坐标为 . (3)如图3，□中，，，双曲线经过点和中点，则该双 曲线的解析式为 . (4)如图4，直线与分别与双曲线交于点、，， 则的值为 . 图1 图2 图3