第三节 全微分.pptVIP

第八章 *二、全微分在近似计算中的应用 第三节 本节内容: 一、全微分的定义 全微分 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 二元函数对 x 和 对 y 的偏增量 二元函数对 x 和 对 y 的偏微分 一、全微分的定义 S = xy . x ?x y ?y x?y y?x 如果测量 x 、y 时产生误差 ?x , ?y , 则该矩形面积产生的误差为： （1） （2） ?x?y 例1 如图所示，通过测量，得矩形的长和宽分别为 x 和 y ，则此矩形的面积 S 为： （1）y?x + x?y 是关于 ?x 、 ?y 的线性函数； （2） ?x ?y ，当?x ? 0， ?y ? 0 时， 即当 时， ?x ?y 是比 ? 高阶的无穷 小量. 因此，当 | ?x |、| ?y |很小时， 称 y?x + x?y 为函数 S = xy 在点 (x, y) 处的全微分. 全微分的概念 定义 设二元函数 在点 的某邻域内有定义，自变量 在点 处取得改变量 ，函数 在点 相应的全增量 可以表示为 其中 与 无关，而仅仅与 有关，并且其中 . 则称函数 在点 可微，并称 为函数 在点 的全微分，记为 ，即 函数若在某区域 D 内各点处处可微，则称这函 数在 D 内可微. （1）如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微，则函 数在该点连续。 关于二元函数的可微性有如下结果： （2）如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 不连续，则 函数在该点处不可微。 下面讨论二元函数的可微与可求偏导的关系。 定理1（必要条件）如果函数 在点 处可微，则该函数在点 的偏导数 和 必存在，并且函数 在点 的 全微分为 二、可微的条件 如果函数 在点 可微分, 证 P 的某个邻域时， 当 时，上式仍成立， 此时 , 同理可得 一元函数在某点的导数存在 微分存在。 多元函数的各偏导数存在 全微分存在。 例如， 在点 (0 , 0) 处有 偏导数存在. 但在 (0 , 0) 处， 则有： 因此，函数在点 (0, 0) 处不可微。 如果考虑点 P? (?x, ?y) 沿直线 y = x 趋近于 (0, 0), 说明它不能随着 ? → 0 而趋近于 0， 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证函数的全微分存在。 定理 2（充分条件）如果函数 的偏导数 、 在点 连续，则该函数在点 处 可微分。 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数。 解 所求全微分为 例1 计算函数 在点 处的全微分. 例2 计算函数 的全微分. 解 解 例3 求函数 的全微分. 解 所求全微分为 例4 计算函数 的全微分. 全微分在近似计算中的应用 也可写成 例5 有一无盖圆柱形容器 (如图)，容器外壳的厚度均为 0.1cm，内高为 20cm， 内半径为 4cm。求容器外壳体积的近似值。 解 设圆柱形容器的半径为 r，高为 h， 则圆柱形容器的体积为： 容器外壳体积可看作体积 V 在 r = 4, h = 20 ； ?r = ?h = 0.1 时的改变量。 因此，该容器外壳体积约为 解 由公式得 例6 计算 的近似值