分离变量法求解偏微分方程.pptVIP

第十章 分离变量法 第一节 有界弦的自由振动 第二节 有限长杆上的热传导 第三节 特殊区域上的位势方程 第四节 高维定解问题的分离变量法 第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理 第一节 有界弦的自由振动 求解的基本步骤 驻波 其它边界条件的混合问题 举例-弦的敲击 再例-弦的拨动 第二节 有限长杆上的热传导 求解的基本步骤 举例 第三节 特殊区域上的位势方程 矩形域上的边值问题 圆域内的边值问题 举例-观察法 第四节 高维定解问题的分离变量法 球域内Laplace方程的边值问题 球域内波动方程的初边混合问题 球域内热传导方程的初边混合问题 球域内Laplace方程的边值问题 举例 附记：球函数 球域内波动方程的初边混合问题 球域内热传导方程的初边混合问题 附注 第五节 对非齐次边界条件和非齐次方程的处理 对非齐次边界条件的处理 叠加原理 对非齐次方程的处理 对非齐次边界条件的处理 叠加原理 对非齐次方程的处理 Fourier级数法 举例-共振 球面坐标变换 隐含着的周期边值条件和球内约束条件 第一步：求满足方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解 R(r)： ?(?)： ?(?)： R(r)： ?(?)： 欧拉方程 第二步：求R(r)，?(?)和?(?)的具体表达式 ?(?)： ?(?)= ?(cos-1x)=y(x) ： 缔合勒让德方程 第三步：利用边界条件求解 半径为a的球形内部没有电荷，球面上的电势为sin2?cos?sin? ，求球形区域内部的电势分布 R(r)： Y(?,?)： 球函数 球方程 第一步：首先将时间变量与空间变量分离开来，即求形如 T(t)： v(x,y,z)： 其中 k 是待定常数 第二步：求解T(t) 第三步：求解v(x,y,z) 求如下形式的解 R(r) ： Y(?,?)： 球函数 球Bessel方程 球Bessel函数 第四步：利用初始条件求解 对于其它特殊区域上的定解问题我们同样可以利用分离变量法进行求解 例如： 半球内或外、圆柱上的Laplace方程的边值问题 半球内或外、圆柱上的波动方程和热传导的初边混合问题等 将非齐次边界条件化为齐次边界条件 其中w可以取 或 冲量定理法 Fourier级数法 满足齐次边界条件正交完备系 预设 则有 其中 当?趋向于某个特征频率?k，则有 这说明当?=?k时，对应于第k个特征频率?k的振动元素的振幅随时间的增加而增大，这种现象称为共振 当?=5时 ?=? ?=2? 问题：在本例中为什么在?=2?时不发生共振？ ?=3? * * 物理解释： 一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动 第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解 本征值问题 X(x)： T(t)： 第二步：求本征值 ? 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式 T(t)的表达式 本征值和本征函数 第三步：利用初始条件求得定解问题的解 利用初始条件得 其中 振 幅 频 率 初相位 振动元素，本征振动 驻波 o l n = 4 两端自由的边界条件 左端点自由、右端点固定的边界条件 左端点固定、右端点自有的边界条件 第三类边界条件的混合问题的求解中遇到的困难 对不同的 c ，有界弦的自由振动 当 c=0.2l 时，有界弦的自由振动 当 c=0.5l 时，有界弦的自由振动 对不同的 d ，有界弦的自由振动 当 d=0.5l 时，有界弦的自由振动 当 d=0.3l 时，有界弦的自由振动 物理解释： 一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布 第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解 本征值问题 X(x)： T(t)： 第二步：求本征值 ? 和本征函数 X(x)，以及 T(t)的表达式 T(t)的表达式 本征值和本征函数 第三步：利用初始条件求得定解问题的解 利用初始条件得 当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化 散热片的横截面为一矩形[0,a]?[0,b]，它的一边 y=b 处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布 参数选取 一个半径为a的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知函数 f (x,y)，求稳恒状态时圆盘内的温度分布 o r a ? ?+2? 隐含着的周期边值条件和原点约束条件 第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解 ?(?)： R(r)： 周期本征值问题 欧拉方程 第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程 第三步：利用边界条件 利用边界条件 解的约化-Poisson积分公式 *