弹性力学-第三章 平面问题的直角坐标解答.pptVIP

x y O (b) 代入式（b），有： (3-7) —— 李维（Levy）解答 沿水平方向的应力分布 与材力结果比较： —— 沿水平方向不变，在材力中无法求得。 —— 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。 —— 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。 (3-7) —— 李维（Levy）解答 x y O 沿水平方向的应力分布 结果的适用性： （1） 当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。 （2） 假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。 （3） 实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。 —— 三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。 工程应用： —— 求使坝稳定时的角度 ，称为安息角。 平面问题的直角坐标解答 一、多项式解答 ——逆解法 二、梁、长板类弹性体应力函数方法 应力分量与梁内力的关系可表示为： 考虑挤压应力影响导致 然后由： 确定应力函数 的具体形式。 三、三角形板、楔形体的求解方法 因次分析法（量纲分析法）： x y O 楔形体，下部可无限延伸。 侧面受水压作用： （水的溶重）； 自重作用： （楔形体的溶重）； 分析思路： (a) ∵ 的量纲为： ∴ 的形式应为： 的线性组合。 的量纲为： (b) 由 推理得： 应为 x、y 的三次函数。 应力函数可假设为： 按应力求解平面问题的基本步骤 （常体力情形） （1） (2-27) （2） 然后将 代入式（2-26）求出应力分量： 先由方程（2-27）求出应力函数： (2-26) （3） 再让 满足边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 (2-28) （无体力情形） 应力函数的求解方法： （1）逆解法； （2）半逆解法。 两类问题应力函数φ(x，y)的求解方法 (1) 梁、长板类弹性体应力函数 φ(x，y)方法 应力分量与梁内力的关系可表示为： 考虑挤压应力影响导致 然后由： 确定应力函数 的具体形式。 (2) 楔形体应力函数 φ(x，y)方法 因次分析法（量纲分析法）： x y O 楔形体，下部可无限延伸。 侧面受水压作用： （水的溶重）； 自重作用： （楔形体的溶重）； 分析思路： (a) ∵ 的量纲为： ∴ 的形式应为： 的线性组合。 的量纲为： 由 推理得： (b) 应为 x、y 的三次函数。 应力函数可假设为： 课堂练习： 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 。 3. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。 2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数φ(x，y) 。 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 。 (1) (2) (3) 解： (1) 将其代入相容方程，有 满足相容方程，φ1可作为应力函数。 (2) 将其代入相容方程，有 不满足相容方程，φ2不可作为应力函数。 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 。 (1) (2) (3) 解： (3) 将其代入相容方程，有 当D = 0时，满足相容方程，φ3可作为应力函数； 当D≠0时，不满足相容方程，φ3不可作为应力函数。 2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数φ(x，y) 。 解： 将应力函数代入相容方程，有 上述方程中，要使对任意的 x、y 成立，有 积分得 3. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且 h b。试确定其应力和位移分量。 解： 分析截面内力： 积分得： 代入相容方程，有： 要使对任意的 x、y 成立，有 积分，得： 1 确定应力函数 （1） 2 计算应力分量 （1） （2） 3 由边界条件确定常数 左右边界： （3） 上边界： （3） （4） （5） （6） （7） 代入式（1）和（4），有： （8） （9） x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (a) (b) —— 任意的待定函数 (3) 由 确定： 代入相容方程： x y l