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第三章 公理系统
1. 证明:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
解 (1) ,,A
,,A
,,A
,,A
,,A
最后,使用3次演绎定理得到:
(2) ,B,A
,B,A
,B,A
,B,A
,B,A
最后,使用3次演绎定理得到:
(3) 公理一
演绎定理
公理三
MP规则
公理三
MP规则
MP规则
最后,由演绎定理得到:
(4) 本题 (3)
公理三
MP规则
(5) 本题 (3)
, A 演绎定理
,
, B MP规则
, 本题 (4)
, MP规则
演绎定理
公理三
MP规则
演绎定理
(6) ,A
,
,B MP规则
演绎定理
本题 (5)
MP规则
演绎定理
(7) 例3.4
演绎定理
演绎定理
即
(8) 公理一
即
(9) 例3.4
演绎定理
本题 (4)
MP规则
演绎定理
公理三
MP规则
即
(10) 公理一
演绎定理
本题 (4)
MP规则
演绎定理
公理三
MP规则
即
2. 以下结论对吗?若对,加以证明;若不对,举出反例。
(1) 且 当且仅当 。
(2) 或 当且仅当 。
解 (1) 对。设且。
题1 (6)
已知
MP规则
已知
题1 (4)
MP规则
MP规则
即
设。
题1 (9)
题1 (10)
已知
MP规则
MP规则
(2) 不对。,即,但且。
3. 证明空集是协调的公式集。
证明 由可靠性定理知道,若,则A是永真式。因此,,空集是协调的公式集。
4. 若且,则。
证明 若且,则存在一个A的从的推演,该推演也是A的从的推演。因此,。
5. 若且是协调的,则也是协调的。
证明 若且是协调的,则存在公式A使得,由上题知道,。所以,也是协调的。
6. 证明定理3.4的逆定理。
证明 定理3.4的逆定理叙述如下:若可满足,则协调。
若不协调,则,由可靠性定理得到。因此,不可满足。
7. 用定理3.5证明定理3.4。
证明 若不可满足,则。由定理3.5得到。由定理3.3得出不协调。
8. 用定理3.7证明定理3.6。
证明 若,则不可满足。由定理3.7知道,有的有穷子集不可满足。令,则,因此不可满足。由第二章习题19知道,。
9. 证明:
(1) ,其中t对于A中的是可代入的。
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) ,其中不是B的自由变元。
(8)
证明 (1) 公理四
重言式
即
(2) 重言式
公理四
重言式
MP规则
重言式
公理四
重言式
MP规则
重言式
MP规则
UG规则
公理五
MP规则
重言式
MP规则
即
(3) 重言式
例3.8
重言式
例3.8
重言式
MP规则
重言式
公理四
重言式
MP规则
重言式
公理四
重言式
MP规则
重言式
MP规则
UG规则
公理五
MP规则
重言式
MP规则
(4) 首先证明:若,则。
已知
重言式
MP规则
例3.8
重言式
MP规则
例3.8
重言式
MP规则
然后证明。
重言式
已证
本题 (3)
重言式
MP规则
重言式
MP规则
即。
(5) 重言式
第10题 (1)
重言式
第10题 (1)
重言式
MP规则
(6) 重言式
本题(4)的证明
重言式
MP规则
即
(7) 公理四
重言式
MP规则
UG规则
公理五
MP规则
重言式
MP规则
即
本题(1)
重言式
MP规则
UG规则
公理五
MP规则
重言式
MP规则
(8) 本题(1)
例3.8
第10题 (2)
10. 证明:
(1) 若,则。
(2) 若且不是B的自由变元,则。
证明
(1) 已知
重言式
MP规则
例3.8
重言式
MP规则
即
(2) 已知
重言式
MP规则
UG规则
公理五
MP规则
重言式
MP规则
即
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