几何概型 讲义.docVIP

PAGE PAGE 5 几 何 概 型 的 常 见 题 型 几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题. 一．几何概型的定义 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等. 3．计算公式： 说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量. 4．古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的. （2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的； ②两种概型的概率计算公式的含义不同. 二．常见题型 1．与长度有关的几何概型 例1．(2009山东卷·文理)在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( ). A. B. C. D. 分析：在区间上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间上随机取一个数,即时,要使的值介于0到之间, 需使或 ∴或，区间长度为， 由几何概型知使的值介于0到之间的概率为 . 故选A. 练1. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是. A. B. C. D.不确定 3. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是________. 2. 在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率. 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，硬币不与任一条平行线相碰的概率. 在半径为1的圆周上，有一定点A，以A为端点任连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，求弦长超过√3 的概率。 7.如图，，，，在线段上任取一点， 试求：(1)为钝角三角形的概率； (2)为锐角三角形的概率． 2．与面积有关的几何概型 例2．（2009辽宁卷·文）为长方形，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为（ ） A． B. C. D. 分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型. 解：长方形面积为2,以为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 因此取到的点到的距离大于1的面积为， 则取到的点到的距离大于1的概率为 . 故选B. 3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A. B. C. D. 1. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________. 2. 如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________. 5. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超 过2 m的概率. 在一个打上方格的纸上头一枚直径为2的硬币，方格变长要多少才能使硬币与方格的边不相交的概率小于4%？ 3．与角度有关的几何概型 例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线，求使得和都不小于30°的概率？ 分析：此题关键是搞清过作射线可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的. 解：记事件是“做射线，使得和都不小于30°”，，则符合条件的射线应落在扇形中， 所以 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________. 4．与体积有关的几何概型 例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？ 分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的