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近世代数部分习题参考答案 第11 章 半群和幺半群 11.3.5 证明：设 为有限半群，且 。设b ∈S ，则可得： 1 2 n n+1 , ) S | n b ,b , ,b ,b ∈S (S  | 由 的有限性知， 使得 j i ，不妨设 ，即 ， 。 S ] b b j i j i +k k 0 , 1 , [1 ∃ ∈ + i j n 从而有： i k i ,则两边同时不断左乘 使得 p k p ，且满足 ， b b b b b b b p q ⋅k 从而bp bp bk (bp bk ) bk bp b2k  bp bqk ，即bp bp bp ，令 a bp 即可。 11.3.8 证明： 1）结合律：由集合论知识知集合的对称差运算 满足结合律，故(2S , ∆) 为半 ∆ 群； 2）单位元：对∀A ∈2S 有φ∆A A∆φ A ； 3）逆元：对∀A ∈2S 有 ∆ φ ，即为自身。 A∆A A A 故(2S , ∆) 为群。 11.4.1 { , , , , 1} 证明：记H x ∃a a a ∈A 使x a a a n ≥ ，下证G A H ,根据 1 2 1 2 n ( ) n 的定义即证 为 的生成子半群。 G(A) H A 先证 为包含 的子半群。 H A ① 显然 （令 即可知）， A ⊆H n 1 ② 在 上的运算封闭：对 ，有 ， ，其中  H ∀x , y ∈H x a a a y b b b 1 2 n 1 2 m a ,b ∈A 。从而x y ∈H 。 i j 故 为包含 的子半群。 H A ③ 下证 即为 的生成子半群。 H A 设 为包含 的任意一个子半群，下证H ⊆P 。 P A 对 ∀x ∈H ， ∃a1 , a2 , , ai ∈A 使得 x a1a2 ai ，又 A ⊆P ，所以 a , a , , a ∈P ，则由 为子半群知a a a ∈P ，即x ∈P ，所以H ⊆P 。 P 1 2 i 1 2