_1二重积分概念.ppt

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 二、二重积分的性质 第一节 一、二重积分的概念 二重积分的概念与性质 第十章 让我们先来讨论曲顶柱体的体积。 设 D 为一个平面区域, f (x, y)是定义在 D 上的一个非负二元函数。考察以曲面 z ? f (x, y)为顶, 以Oxy 平面上区域 D 为底的空间区域, 其侧面是以 D 的边界为准线, 母线平行于z 轴的柱面。 姑且称这个区域为曲顶柱体。 x y z O D z ? f (x, y) 一、二重积分的概念 我们仿照定义曲边梯形面积的方法来定义曲顶柱体的体积, 采用“分割、求和、取极限”的方法, 如下动画演示 x y z O D z ? f (x, y) ??i 曲顶柱体的体积求法: 曲顶 S: z ? f (x, y) (1) 化整为零, 任意分割区域 D (2) 以平代曲: (3) 积零为整: (4) 取极限, 令分法无限变细 1. 定义: 设 f (x, y) 是定义在有界闭区域 D 上的二元有界函数, 将区域 D 任意分成 n 个小闭区域: Ds 1， Ds 2，··· ， Dsn 其中 Dsi 表示第 i 个小区域, 也表示它的面积。 在 Dsi 上任取一点 (x i , h i), 作积分和: 当各小区域的直径中的最大值 d ? max{di } 趋于零时, 如果积分和的极限存在, 且与小区域的分割及点 (xi , hi) 的选取无关, 则称此极限为函数 f (x, y) 在区域D上的二重积分, 记作: 即: 二重积分各部分名称 积分号 积分区域 被积函数 面积元素 对二重积分定义的说明： (1) 在二重积分的定义中, 对闭区域 D 的划分是任意的, (2) 二重积分值仅与 f (x, y) 及区域 D 有关, 与积分变量符号无关, 即: (3) 当 f (x, y) 在闭区域 D 上连续时, 定义中和式的极限必存在, 即二重积分必存在. 2. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时, 二重积分是柱体的体积; 当被积函数小于零时, 二重积分是柱体的体积的负值。 3. 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域。 设矩形闭区域 ?s i 的边长为 ?xi 和?yi , 则 ?s i ? ?xi ?yi , 其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。 x y z O D ?s i ?xi ?yi 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素 ds 记作 dxdy, 故二重积分可写为: 性质1: 常数因子可提到积分号外面。即: 性质2: 函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和。即: 性质3 (可加性): 如果积分区域 D 划分为两个区域 D1与 D2, 则: D x y z O D1 D2 二、二重积分的性质 性质4: 如果在区域 D 上总有, f (x, y) ? g(x, y), 则: 特别有: 性质5: 如果在区域 D上有 f (x, y) ≡1, A是D 的面积, 则: 性质6: 设 M 与m 分别是 f (x, y) 在区域 D上的最大值与最小值, A 是 D 的面积, 则: 例1: 比较积分 与 的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为 (1, 0), (1, 1), (2, 0) 。 解： 三角形斜边方程为 x ? y ? 2, 在 D 内有 1 ? x ? y ? 2 e, 故 0 ln ( x ? y ) 1 于是 因此, 由性质4 知: 1 2 2 1 D 例2: 不作计算, 估计积分 的值, 其中D是椭圆闭区域: 。 解： 区域 D 的椭圆面积 s ? abp 在 D上 0 ? x 2 ? y 2 ? a2 因此 由性质