积分法与变量可分离方程.pptVIP

* 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程 形如 （1.2.1） 的方程称为变量可分离方程。 §1.2 积分法与可变量可分离方程 这里 是连续函数. 该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数之积. 一、 变量可分离方程的求解 当 方程（1.2.1）两边同除以 得 这样对上式两边积分得到 例1.2.1求微分方程 的通解。 注：求方程通解时，我们假设 若 时得y值也可能为方程的解。所以要考虑 的情况， 解：变量分离后得 上式两边积分得 整理得 其中 该解 在 无定义, 故通解在 中有定义. 该方程对应的解我们称为常数解 例 1.2.2 求微分方程 的通解. 解: 变形为 积分得: 求积分得: 解得: 记 则 因为 可得 故所有的解为: 二、 齐次方程 齐次函数: 函数 称为m次齐次函数, 如果 齐次方程: 形如 的方程称为齐次方程。 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解思想: 求解。 例1.2.3 求下面初始值问题 解：方程为一齐次方程，令 求导后得 分离变量得 事实上, 令 则 故有 即 积分上式得 用 代入得 利用初始条件 可定出 代入上式解出 注:当方程右端是一些线性分式函数时，可化为 齐次方程。 三、 可化为齐次方程的方程 形如 的方程可化为齐次方程. 其中 都是常数. 1. 当 时, 此方程就是齐次方程. 2. 当 时, 并且 (1) 此时二元方程组 有惟一解 引入新变量 此时, 方程可化为齐次方程: (2) 若 则存在实数 使得: 或者有 不妨是前者, 则方程可变为 令 则 4. 对特殊方程 令 则 例1.2.4求方程 的通解。 解：解方程组 得 令 代入原方程可得到齐次方程 令 得 还原后得原方程通解为 变量分离后积分 例:雪球融化问题 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比 例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在 开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩 小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。 解:设t时刻雪球的体积为 ，表面积为 ，由题得 球体与表面积的关系为 §1.2.3变量可分离方程的应用 引入新常数 再利用题中的条件得 分离变量积分得方程得通解为 再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。 * * * * * * * * * * * * * * * 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程 * * * * * * * * * * * * * * * *