矩和协方差矩阵.pptVIP

* * 第四节 矩和协方差矩阵 在数学期望一讲中，我们已经介绍了矩和中心矩的概念. 这里再给出混合矩、混合中心矩的概念. 协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩. 称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩. 若 存在， 称它为X和Y的k+L阶混合中心矩. 设X和Y是随机变量，若 k,L=1,2,… 存在， 可见， 协方差矩阵的定义 将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式: 称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵. 这是一个 对称矩阵 类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. 下面给出n元正态分布的概率密度的定义. 为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵 称矩阵 都存在, i, j=1,2,…,n 若 f (x1,x2, …,xn) 则称X服从n元正态分布. 其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. |C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵， X和 是n维列向量， 表示X的转置. 设 =(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布 a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从正态分布. 对一切不全为0的实数a1,a2,…,an， n元正态分布的几条重要性质 2. 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则(Y1,Y2, …，Yk)也服从多元正态分布. 这一性质称为正态变量的线性变换不变性. n元正态分布的几条重要性质 3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2, …,Xn两两不相关”