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函数与导数
第一单元:考点梳理、热点探究:
一、考点梳理:
1. 函数及其表示:
(1)函数的三要素:定义域、值域、对应关系。两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.
(2)函数的表示:列表法、图像法、解析式法.
2. 函数的性质:
(1)单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.
判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法.
(2)函数的奇偶性反映了函数图像的对称性,是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是简化问题的一种途径.
(3)函数的周期性反映了函数图像的重复性,在周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量的作用,奇偶性起到调节符号作用.
3. 基本初等函数:
(1)幂函数 SKIPIF 1 0 的图像与性质由于 SKIPIF 1 0 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查:
① SKIPIF 1 0 的正负: SKIPIF 1 0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升; SKIPIF 1 0 时,图像不过原点,在第一象限的图像下降.
② 曲线在第一象限的凹凸性: SKIPIF 1 0 时,曲线下凸; SKIPIF 1 0 时,曲线上凸; SKIPIF 1 0 时,曲线下凸.
(2)指数函数 SKIPIF 1 0 与对数函数 SKIPIF 1 0 的图像和性质,分 SKIPIF 1 0 两种情况,当 SKIPIF 1 0 时,两函数在定义域内都为增函数,当 SKIPIF 1 0 时,两函数在定义域内都为减函数.
4. 函数的零点:
确定函数零点的常用方法:
(1)解方程判定法,方程易解时用此法;
(2)利用零点存在的判定定理;
(3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解.
5. 导数的概念及其应用:
(1)导数的几何意义:
① 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处的导数 SKIPIF 1 0 就是曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线的斜率,即 SKIPIF 1 0 .
② 曲线 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 0 .
(2)利用导数研究函数的单调性:在区间 SKIPIF 1 0 内,如果 SKIPIF 1 0 ,那么函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上单调递增;如果 SKIPIF 1 0 ,那么函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上单调递减.
(3)利用导数研究函数的极值(最值)问题
① 若在 SKIPIF 1 0 附近左侧 SKIPIF 1 0 ,右侧 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 为函数 SKIPIF 1 0 的极大值;若在 SKIPIF 1 0 附近左侧 SKIPIF 1 0 ,右侧 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 为函数 SKIPIF 1 0 的极小值.
② 设函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续,在 SKIPIF 1 0 内可导,则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
二、考点、热点探究
1. 考情报告:
题 型
2011年
2012年
2013年
小 题
理 科:
第3题:函数的奇偶性与求值.
第10题:函数的图像.
文科:
第4题:函数的解析式.
第10题:函数的图像.
理科:
第2题:函数解析式.
文科:
第3题:对数计算.
第13题:函数的单调性
理科:
第4题:函数单调性.
第8题:函数的图像.
第10题:函数方程的实根个数.
文科:
第8题:函数图像.
第10题:函数方程的实根个数.
大 题
理科:
第16题:导数(指数、分式函数型,求极值点,参数的取值范围)
文科:
第17题:导数(指数、分式函数型,求极值点,参数的取值范围)
理科:
第19题:导数(指数、分式函数型,求最值和参数)
文科:
第17题:导数(分式
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