函数的最值与导数.pptVIP

练一练：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。 Page ? * Page ? * 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 1．函数的最大值 f(x0)＝M 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：①对于任意的 x∈I，都有________；②存在 x0 ∈I，使得 __________．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值． f(x)≤M 2．函数的最小值 f(x0)＝M 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满 足：①对于任意的 x∈I，都有________；②存在 x0 ∈I，使得 __________．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最小值． f(x)≥M 复旧知新 0 x y a b f(a) f(b) 复旧知新 问题一：函数极值相关概念 （1）若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都小大，满足f (b)=0且在点x=b附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。 （2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,满足f (a)=0且在点x=a附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。 复旧知新 问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？ 解方程f (x) =0。当f (x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x)0 ,那么f (x0)是极大值； （2）如果在x0附近 的左侧 f (x)0，右侧 f (x) 0 ,那么f (x0)是极小值； 观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？ 讲授新课 x1 极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6) 极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5) 最大值：f (a) 最小值：f (x3) x2 x3 x4 x5 x6 b a o x y a b y=f(x) y=f(x) o x y a b o x y a b y=f(x) o x y a b y=f(x) 性质探究 探究问题1：开区间上的最值问题 结论 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。 若有最值，一定在极值点处取得。 如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？ 性质探究 探究问题2：闭区间上的最值问题 y=f(x) a b x1 x2 x4 x3 y x o a b y=f(x) 如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。 结论 特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则最值则在端点处取得。 y x o O x y a b x3 x2 x1 O x y a b x1 x2 x3 O x y a b x2 x1 思考1 观察下列图形,找出函数的最值并总结规律 图1 图3 图2 连续函数在[a,b]上必有最值； 并且在极值点或端点处取到. 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象： 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ x X2 o a X3 b x1 y y=f(x) 思考2 追踪练习 (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； 注意: 在定义域内, 最值唯一;极值不唯一 方法总结 例1 .给出下列说法： （1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最