极坐标与参数方程知识讲解.pdfVIP

选修4-4 极坐标系和参数方程 极坐标系和参数方程是 “平面解析几何初步”和 “圆锥曲线与方程”的延续与拓广，是解 析几何与函数、三角函数、向量等内容的综合应用。 这部分内容作为高考的选考内容，在考试中所占的分值为7 分左右，但在培养综合应用基 础知识的能力，扩大解题思路，灵活解题上作用很大．特别是参数方程中体现的参数思想，常 要渗透到高考综合题的解题过程． 以课本知识为主，不要刻意加大难度．本单元的重点是极坐标系和利用参数求轨迹的参数 方程．极坐标应重点放在极坐标化为直角坐标，并熟练掌握直线、圆的极坐标方程与曲线之间 的对应关系．参数方程的重点是普通方程与参数方程的互化，尤其是参数方程化为普通方程． 参数思想在本单元的体现是简化运算，减少未知量的个数，在轨迹问题、最值、定值问题 的解决中起到重要的作用．由于参数法既与三角函数图象的各种变换交汇，又与解析几何的轨 迹方程的求解有关，因此必须加强参数法的应用意识，体会参数法的特点，进一步体验参数法 解决实际问题的高效． 注意本单元内容和三角函数及平面解析几何的交汇。 一、 坐标系和极坐标方程 坐标系是解析几何的基础，有了坐标系，使几何问题代数化成为可能，它是实现几何图形 与代数形式互相转化的基础，使精确刻画几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能。在不同 的坐标系中，同一个几何图形可以有不同的表现形式，这使解决问题的方法有了更多的选择。 （一） 伸缩变换 ：设点 P(x ，y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换  x x (0)   :   的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′) ，称φ为平面直角坐标系中的 y y ( 0)  坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 平面直角坐标系中图象的变换 2 2 (x＋1) (y－1) 例1 通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆 ＋ ＝1 变为中 9 4 心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换。 【思路】把中心不在原点的椭圆通过平移变换化为中心在原点的椭圆，再通过伸缩变换化 为中心在原点的单位圆． x′＝x＋1， 2 2 2 2 (x＋1) (y－1) x′ y′ 【解答】先通过平移变换 把椭圆 ＋ ＝1 变为椭圆 ＋ ＝1， y′＝y－1 9 4 9 4 1 17 第 页 共 页 x′ x″＝ ， 3 x′2 y′2 2 2 再通过伸缩变换 y′ 把椭圆 ＋ ＝1 变为单位圆x″ ＋y″ ＝1. 由上述两种变换合成 y″＝ 9 4 2 x＋1 x″＝ ， 3 的变换是 . y－1 y″＝ . 2