第3章 线性规划的灵敏度分析与最优解的解释.pptVIP

第三章 线性规划的灵敏度分析与最优解 的解释 讲授人：朱玉春 教授 单 位： 经济管理学院 2011年 引言 灵敏度分析是研究当一个线性规划问题中的系数发生变化时，其对函数最优解的影响程度。运用灵敏度分析，我们可以回答以下问题： 1.如果目标函数的系数发生了变化，对最优解会产生什么影响？ 2.如果改变约束条件的右端值，对最优解会产生什么影响？ 首先我们将介绍如何使用图解法进行双变量线性规划问题的灵敏度分析，然后介绍如何使用管理科学家软件得到灵敏度分析报告。 本章主要内容 3.1 灵敏度分析简介 3.2 图解法灵敏度分析 3.3 灵敏度分析：计算机求解 3.4 多于两个决策变量的情况 3.5 电子通信公司问题 3.1 灵敏度分析简介 灵敏度分析对于决策者的重要性不言而喻。 在真实世界里，周围的环境，条件是在不断变化的。原材料的成本在变，产品的需求在变，公司购买新设备、股票价格的波动，员工流动等等这些都在不断发生。如果我们要用线性规划模型去解决实际问题，那模型中的系数就不可能是一成不变的。 这些系数的变化会对模型的最优解产生什么样的影响呢？运用灵敏度分析，我们只需要改变相应的系数就可以得到答案，而不需要建立新的模型。 3.1 灵敏度分析简介 回忆Par公司的问题： 3.1 灵敏度分析简介 假设，我们得知由于价格的下降，标准袋的利润由10美元下降到8.5美元。这时我们可以用灵敏度分析来确定标准袋生产540个，高级袋生产252个是否还是最优解。如果还是，则不必建立新的模型求解了。 灵敏度分析还可以用来分析模型中的系数哪个更能左右最优解。 比如，管理层认为高级袋的利润9美元只是一个估计量，如果通过灵敏度分析得到高级袋的利润在6.67和14.29美元之间变化时，模型的最优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么管理层就对9美元这个估计量和模型所得出的最优产量比较满意。但是，如果灵敏度分析告诉我们只有当高级袋的利润在8.9和9.25美元之间，模型的最优解才是540个标准袋和252个高级袋，那么管理层就必须思考9美元这个估计量的可信程度有多大了。 3.1 灵敏度分析简介 灵敏度分析的另一个用途是分析约束条件的右端值变化对最优解的影响。还是以Par公司为例，在最优产量的情况下，切割与印染部门和成型部门的工作时间已经完全被占用了。如果现在公司增加了这两个部门的生产能力，那么最优解以及总利润的值会发生什么样的变化呢？灵敏度分析可以帮助确定每一个工时的边际价值，以及在利润下降之前部门工时的最大增加量。 3.2 图解法灵敏度分析 对于双变量的线性规划问题，当目标函数的系数或约束条件的右端值变化时，用图解法对其进行灵敏度分析。 我们先思考目标函数的系数变化会对Par公司的最优产量产生什么样的影响。选择每个标准袋的利润是10美元，每个高级袋的利润是9美元，如果其中一种袋子利润下降，公司就会削减其产量，如果利润上升，公司就会增加其产量。究竟利润变化多少，管理者才应该改变产量呢？ 现在，模型的最优解540个标准袋和252个高级袋。每个目标函数系数都有一个最优范围，即目标函数系数在什么范围内变化，模型的最优解保持不变。 3.2 图解法灵敏度分析 3.2.1 目标函数系数 认真观察图发现，只要目标函数直线的斜率处于直线A（和切割与印染约束线重合）的斜率与直线B（与成型约束线重合）的斜率之间，极点3（S=540，D=252）就是最优解的点。 改变目标函数里S和D的系数，引起目标函数直线斜率的变化，即绕着极点3旋转。只要目标函数直线仍在阴影区域内，极点3仍是最优解。 3.2 图解法灵敏度分析 逆时针转动目标函数直线，使其斜率变成一个绝对值更小的负数，从而斜率变大了。直到与A重合，我们就获得了多重最优解——在极点3和极点4之间的点都是最优点。因此A的斜率是目标函数直线的上限。 顺时针转动目标函数直线，使其斜率变成一个绝对值更大的负数，从而斜率变小了。直到与B重合，我们又获得了多重最优解——极点3和极点2之间都是最优点。因此B的斜率是目标函数直线斜率的下限。 因此，极点3总是最优解点，只要 直线B的斜率≤目标函数直线的斜率≤直线A的斜率 3.2 图解法灵敏度分析 根据直线A和直线B的表达式，可以算出A的斜率是 -7/10，截距是630。B的斜率是-3/2，截距是1062。 则直线A和直线B的斜率都已经计算出来了，我们来看保持极点3仍然为最优解点，应满足条件： -3/2≤