第25届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答.docVIP

PAGE PAGE 8 第25届全国中学生物理竞赛决赛试题 2008年10月 北京 ★ 理论部分 θd θ d B A x 足球比赛，一攻方队员在图中所示的 A 处沿 Ax 方向传球，球在草地上以速度 v 匀速滚动，守方有一队员在图中 B 处，以 d 表示 A ，B 间的距离，以 θ 表示 AB 与Ax 之间的夹角，已知 θ ＜90° ．设在球离开 A 处的同时，位于 B 处的守方队员开始沿一直线在匀速运动中去抢球，以 vp 表示他的速率．在不考虑场地边界限制的条件下，求解以下问题（要求用题中给出的有关参量间的关系式表示所求得的结果）： 1．求出守方队员可以抢到球的必要条件． 2．如果攻方有一接球队员处在 Ax 线上等球，以 lr 表示他到 A 点的距离，求出球不被原在 B 处的守方队员抢断的条件． 3．如果攻方有一接球队员处在 Ax 线上，以L表示他离开 A 点的距离．在球离开 A处的同时，他开始匀速跑动去接球，以 vr 表示其速率，求在这种情况下球不被原在 B 处的守方队员抢断的条件． 二、 卫星的运动可由地面观测来确定；而知道了卫星的运动，又可以用它来确定空间飞行体或地面上物体的运动．这都涉及时间和空间坐标的测定．为简化分析和计算，不考虑地球的自转和公转，把它当做惯性系． 1．先来考虑卫星运动的测定．设不考虑相对论效应．在卫星上装有发射电波的装置和高精度的原子钟．假设从卫星上每次发出的电波信号，都包含该信号发出的时刻这一信息． （I）地面观测系统（包含若干个观测站）可利用从电波中接收到的这一信息，并根据自己所处的已知位置和自己的时钟来确定卫星每一时刻的位置，从而测定卫星的运动．这种测量系统至少需要包含几个地面观测站？列出可以确定卫星位置的方程． （II）设有两个观测站 D1 ，D2 ，分别位于同一经线上北纬 θ 和南纬 θ（单位：（°））处．若它们同时收到时间之前卫星发出的电波信号．（i）试求出发出电波时刻卫星距地面的最大高度 H ；（ii）当 D1 ，D2 处观测站位置的纬度有很小的误差△θ 时，试求H的误差；（iii）如果上述的时间有很小的误差，试求 H 的误差． 2．在第1（II）小题中，若 θ = 45° ，= 0.10 s ．（i）试问卫星发出电波时刻卫星距地面最大高度 H 是多少千米？（ii）若△θ = ±1.0′′ ，定出的 H 有多大误差？（iii）若= ±0.010 μs ，定出的 H 有多大误差？假设地球为半径 R = 6.38 × 103 km 的球体，光速 c = 2.998 ×108 m / s ，地面处的重力加速度 g = 9. 3．再来考虑根据参照卫星的运动来测定一个物体的运动．设不考虑相对论效应．假设从卫星持续发出的电波信号包含卫星运动状态的信息，即每个信号发出的时刻及该时刻卫星所处的位置．再假设被观测物体上有一台卫星信号接收器（设其上没有时钟），从而可获知这些信息．为了利用这种信息来确定物体的运动状态，即物体接收到卫星信号时物体当时所处的位置以及当时的时刻，一般来说物体至少需要同时接收到几个不同卫星发来的信号电波？列出确定当时物体的位置和该时刻的方程． 4．根据狭义相对论，运动的钟比静止的钟慢．根据广义相对论，钟在引力场中变慢．现在来考虑在上述测量中相对论的这两种效应．已知天上卫星的钟与地面观测站的钟零点已经对准．假设卫星在离地面 h = 2.00 ×104 km 的圆形轨道上运行，地球半径 R 、光速 c 和地面重力加速度 g （I）根据狭义相对论，试估算地上的钟经过 24 h 后它的示数与卫星上的钟的示数差多少？设在处理这一问题时，可以把匀速直线运动中时钟走慢的公式用于匀速圆周运动． （II）根据广义相对论，钟在引力场中变慢的因子是 (1－2/ c2 )1 / 2 ，是钟所在位置的引力势（即引力势能与受引力作用的物体质量之比；取无限远处引力势为零）的大小．试问地上的钟 24 h 后，卫星上的钟的示数与地上的钟的示数差多少？ 三、 致冷机是通过外界对机器做功，把从低温处吸取的热量连同外界对机器做功所得到的能量一起送到高温处的机器；它能使低温处的温度降低，高温处的温度升高．已知当致冷机工作在绝对温度为 T1 的高温处和绝对温度为 T2 的低温处之间时，若致冷机从低温处吸取的热量为 Q ，外界对致冷机做的功为 W ，则有 EQ \f( Q ,W) ≤ EQ \f(T2,T1－T2) ， 式中“=”对应于理论上的理想情况．某致冷机在冬天作为热泵使用（即取暖空调机），在室外温度为－5.00℃的情况下，使某房间内的温度保持在20.00℃．由于室内温度高于室外，故将有热量从室内传递到室外．本题只考虑传导方式的传热，它服从以下的规律：设一块导热层，其厚度为 l ，面积为 S ，两侧温度