求二次型标准形的方法及正定二次型.pptVIP

二次型及其标准形的概念 第二节 正定二次型正(负)定二次型的概念正(负)定二次型的判别 一、正(负)定二次型的概念 二、正(负)定二次型的判别 * 称为二次型. 2．用矩阵表示 定义 合同矩阵有一下性质： （1）自反性（2）对称性(3) 传递性 定理 设 是一个可逆矩阵,若 为对称矩阵, 则 也为对称矩阵,且 三、矩阵的合同 　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线 性变换，就得到标准形; 　　2.　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方. 四、配方法求二次型的标准形 五、用初等变换法化二次型为标准形 由上节内容知道任何一个二次型都可以表示成矩阵形式 然后，经过某个坐标变换可以将它的二次型矩阵变成对角矩阵。 其中矩阵A是对称矩阵，即 AT = A。 我们知道，任何一个可逆矩阵都等于一系列的初等矩阵的乘积 一系列的合同运算 经过一系列的合同运算使矩阵A变成对角矩阵D 也就是说，我们可以通过以下步骤得到变换矩阵C以及A的对角化矩阵Λ （二次型的标准化矩阵）。 解： 二次型的标准形为 坐标变换矩阵为 在原理上，我们也可以设计初等行变换来求二次型矩阵的标准形及其变换矩阵。 D为对角矩阵 二次型的标准形为： 坐标变换矩阵为 必须说明： 不同的初等变换过程，可以获得不同的二次型 例如： 例3中的二次型，可以继续进行合同运算 其标准形为 坐标变换矩阵为 以上过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。 其中D是对角矩阵，主对角线上各元为d1, d2, …, dn, n个实数 进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式： 该式称为二次型的规范形。 r是矩阵A的秩，即二次型的秩。 注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0的个数相同。 同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di0的个数相同。 定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数 证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。 现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。 假设二次型可以化成两个规范形 (1) (2) 由(1) (2) 我们有： 如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。 (4) 反证法，假设q不等于p，不妨假设pq 如果找到不全为零的y1,y2,…,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立 问题： y1,y2,…,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,…,zn使(4)式右端小于0？ (4) 方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qn个。因此有非零解。即存在不全为零的y1,y2,…,yn使（4）式矛盾，矛盾是由于pq造成的。同样，pq亦会产生类似的矛盾。 由此得到p=q. 惯性定理成立。 为正定二次型 为负定二次型 例如 证明 充分性 故