多元统计分析：第二章多元正态分布及.ppt

应用多元统计分析 第二章 多元正态分布及 参数的估计 第二章 多元正态分布及参数的估计§2.2 多元正态分布的性质1 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质3 利用均值向量和协差阵的有关性质可得： 此性质给出多元正态分布中参数μ和Σ的 明确统计意义.μ是随机向量X的均值向量， Σ是随机向量X的协差阵。 如简单例子中,由性质2知Z服从正态分布,利用性质3, 性质4 设X=(X1,…,Xp)′为p维随机向量，则X服从p维正态分布 ? 对任一p维实向量a,ξ=a′X是一维正态随机变量. 必要性的证明由性质2即得（只须取B=a′,d=0即可）. 充分性的证明：① 首先说明随机向量X的均值和协方差阵存在: 因对任给p维实向量 t∈R p, ξ= t′X～一元正态分布，可知ξ的各阶矩存在， 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质4 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质4 如取t = ei =(0,…,1,…,0)′, Xi = ei′X,且 E(Xi) (i=1,2,…,p) 存在. E(Xi2) (i=1,2,…,p) 也存在. 再比如取 t =(0,…,1,0,…1,..,0)′, ξ= t ′X= Xi +Xj ,且 E(ξ )=E(Xi +Xj ) (i,j=1,2,…,p) 存在. E(ξ 2) =E[(Xi +Xj )2]= E(Xi2)+ 2E(XiXj )+ E(Xj2) 也存在, 即E(XiXj ) (i,j=1,2,…,p)存在. 故E(Xi),Cov(Xi,Xj)=E(XiXj )-E(Xj) E(Xi) (i,j=1,…,p)存在. 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质4 记 E(X)=μ,D(X)=Σ. ② 计算ξ的特征函数: 对任意给定的t∈Rp,因随机变量ξ=t? X服从 N(t?μ,t? Σ t).，故知ξ的特征函数为 ?ξ(θ)=E(eiθξ) =exp[iθ(t?μ) -θ2(t? Σt)/2］ ③ 计算随机向量X的特征函数: 在ξ的特征函数中，取θ=1，即得 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的第三种定义 ?ξ(1)=E(eiξ)=E(e it? X)=ΦX(t) = exp［it? μ- t? Σt / 2］ 由定义2.2.2可知，X～Np(μ,Σ). 定义2.2.3 若p维随机向量X的任意线性组合均服从一元正态分布，则称X为p维正态随机向量. 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 一元正态分布的密度函数 在概率论中大家都知道一元正态随机变量的密度函数是 这个式子可改写为: 作为一元正态随机变量的推广，以下性质来导出多元正态随机向量的联合密度函数. 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质5 性质5 设X～Np(μ,Σ),且Σ＞0 (正定),则X的联合密度函数为 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质5 证明 ① 因Σ＞0,rk(Σ)=p,由线性代数的知识知存在非奇异方阵A,使得 Σ=AA′，且 X = AU+μ 其中U=(U1,…,Up)′,且U1,…,Up相互独立同N(0，1)分布。 d ② U的联合密度函数(p元函数）为 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质5 ③ 利用U的联合密度函数及随机向量的变换求X=AU+μ的密度函数。 对任给Borel可测集B，求p元函数fX(x)使得 其中 D={u | u=A-1(x-μ), x?B} 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质5 根据附录§8 (P397)公式(8.4),即有 以下来求Jacobi行列式J(u→x). 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质5 ④ 积分变换的Jacobi行列式J(u→x)可利用线性变换x=Au+μ及J(x→u)来计算：  因 向量微商的公式见附录§8 (8.1) 第二章 多元正态分布及参数的估计 §2.2 多元正态分布的性质5 关于积分变换的Jacobi行列式J(u→x)的有关内容请参阅附录部分。 故 第二章 多元