电动力学-静电场5.ppt

* 第二章 静电场 电多极矩展开 哈尔滨工程大学理学院 * §2.6 电多极矩 在真空中，若激发电场的电荷全部集中在一个很小的区域（如原子、原子核内），而求解的是距场源较远的空间场，这时可以采用多极矩近似法来解决问题。 1、多极矩的概念 若带电体系的电荷分布在有限区域V内，在V中任取一点O为坐标原点，区域V的线度为l，场点P距O点为R。 多极矩法是讨论 Rl 情况下的场分布问题。 = x y z O a Q x y z O Q + x y z O Q ?Q x y z O Q 零级近似 x y z O a Q x y z O Q + + = x y z O Q ?Q a/2 一级近似 x y z O Q + x y z O Q ?Q a/2 x y z Q ?Q ?Q Q a/2 x y z O a Q x y z O Q 二级近似 x y z O Q = x y z O Q ?Q a/2 + x y z Q +Q ?Q a/4 ?Q + z x y Q ?Q ?Q Q ?Q Q Q ?Q Q + x y z O Q ?Q a/2 + x y z Q +Q ?Q a/4 ?Q + 总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；……。 2、点电荷系的多极展开式 设V内都是点电荷，其中第i个点电荷qi位于点A处。 y A qi l x z P O 符合 Rl 条件，P点的电势 则相对于原点，有 令 y A qi l x z P O 在点O处的电偶极矩的电势 在O处的电荷Q的电势 表示在点O处的电四极矩 的电势 每个包含cos?的因式就是级数的勒让德多项式Pn(cosθ)。 3、连续分布电荷体系的多极子展开式 若区域V内电荷是连续分布的，且电势为 z x P y V o ? 由于源点到场点的距离远大于带电区域V的线度，故可将 对 在原点附近作泰勒级数展开。 在x=0邻域展开 在x=a邻域展开 对于三元函数f (x,y,z)，在原点x=0, y=0, z=0邻域展开 在x=a，y=b，z=c点邻域展开 把 代替f (x)，因r是 的函数， 场点 固定，而让源点 变化，在 附近展开 因为 令 讨论展开式的每项物理意义： ▲展开式的第一项 表示体系总电荷集中于原点的势，零级近似。 ▲展开式的第二项 表示体系总偶极子集中于原点所产生的势，一级近似。 ▲展开式的第三项 表示体系总四极矩集中于原点产生的势，二级近似。 一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的场等于一系列多极子在远处激发的场的迭加。 讨论： （1）如果带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑偶极子，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩；如果带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须考虑电四极矩。只有对原点不是球对称的电荷分布才有电四极矩。 （2）对电四极矩 的进一步认识 电四极矩是一个张量，有9个分量 ▲ 证明电四极矩 的9个分量，只有5个分量是独立的。 则 的9个分量只有6个分量独立。 单位张量 将此式加到 中去，并不改变 的值，即 重新定义 （3）几种典型的多极矩产生的场 a） z P(x,y,z) ?q(0,0,?z? ) O l θ R r- r+ q(0,0, z? ) 体系可看成小区域(Rl ) ，体系对原点而言是不对称的，总电荷为零，故没有零级近似。 总偶极矩不为零 体系为小区域（ Rl ），体系内总电荷为零，总偶极矩为零，故没有零级和一级近似。由于电荷分布不具有球对称性，存在电四极矩。 r+ z P o l θ R r- q -q b a -q q b） c) 半轴为a,b,c椭球体均匀带电，总荷为Q，求它相对于椭球中心的电偶极矩、电四极矩及准确到二级近似下的电势，讨论旋转椭球(a=b)和球体(a=b=c)的情况。 分析 电荷体密度 积分都是对椭球进行的，为此引入广义球坐标变换 雅可比行列式为 对于广义球坐标 是从原点积分到椭球面上 所以，对于r? 积分区域，r : 0?1 这个变换是把半轴为a,b,c的椭球变在单位球。 该电荷系统电偶极矩各分量为 均匀带电椭球相对于原点的偶极矩为零。 ▲对于电四极矩