石河子大学信息科学与技术学院信号与系统课件第十二章 系统的状态变量分析.ppt

连续系统稳定性的判断 这需要解方程 转移函数分母的特征多项式 此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。 离散系统稳定性的判断 即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。 对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值 §12.7系统的可控制性与可观测性 系统的可控性定义、判别法 系统的可观性定义、判别法 可控、可观性与系统转移函数之关系 一．系统的可控性定义、判别法 可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。 判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 即:当 为对角阵形式时, 中的0元素对应不可控因素。 设系统的状态方程 2.可控阵满秩判别法 即: 若有 ,则连续系统完全 可控的充要条件是: 矩阵满秩。 称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。 3.单输入、单输出系统可控性的 矩阵约当规范型判据 即：若在 为约当规范型中，与每个约当块最后一行 相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。 二．系统的可观性定义、判别法 可观性 当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间隔内 根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。 可观性判别法 1.根据状态方程的参数矩阵判别 设系统的状态方程 即:当 为对角阵形式时, 中的0元素对应不可观现象。 2.可观阵满秩判别法 即: 若有 ,则连续系统完全 可观的充要条件是: 矩阵满秩。 称为系统的可判别矩阵，即可观阵。 3.单输入、单输出系统可观性的 矩阵约当规范型判据 即：若在 为约当规范型中，与每个约当块第一行 相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。 三．可控、可观性与系统转移函数之关系 由转移函数表达式： 经非奇异变换而对角化： 暂且不考虑与输入信号直接相联系的 ，则有： 上式展开为： 得出结论： 1.若系统不完全可控或不完全可观,则s域上表现为 必有零极点相消现象。 2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观部分，而留下的是可控或可观部分） * * 输出方程： 状态方程： 如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即 状态方程： 输出方程： 可见： n+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的函数。 在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。 表示成矢量方程形式 各矩阵说明 若系统是线性时不变的，则A,B,C,D 各元素都为常数， 不随n 改变。 若A,B,C,D 矩阵是n 的函数，表明系统是线性时变的， 图中， 是延时单元，它的输入为 ，输出 。 示意结构图(P333，图12-17) 二．由系统的输入?—输出差分方程建立状态方程 对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述（输入—输出方程） 其系统函数为 考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为 其流图形式 写成矩阵形式： 表示成矢量方程形式为 其中 三．给定系统的方框图或流图建立状态方程 给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。 例: 给定离散系统的信号流图，列出系统的状态方程和输出方程。 四．由研究对象的运动规律直接建立状态方程 写成矩阵形式： 例12-12、某地区人口增长的简化动态模型 例12-13、 简单的宏观经济模型 例： 输出方程 状态方程 选状态变量： 状态变量：选延迟器输出 例：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为 x(n) y(n) 例：图示系统，列写状态方程和输出方程。 输出方程 状态方程 状态变量：延迟器输出 §12.5 离散时间系统状态方程的求解 矢量差分方程的时域求解 An的计算 离散系统状态方程的z变换解 离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。 一．矢量差分方程的时域求解 离散系统的状态方程表示为 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 设给定系统的起始状态为：在 ， 则按式(1)有 以下用迭代法，求