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绝对值三角不等式
教学目标：
知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义及推导方法，会进行简单的应用。
过程与方法：充分运用观察、类比、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式进行推理和证明。
情感、态度与价值观：体验不等式的美感，提高推理能力。能运用所学的知识，正确地解决实际问题。
教学重点：绝对值三角不等式的含义和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体辅助
教学过程：
一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是证明不等式，另一类是解不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
几何意义：表示数轴上，坐标为的点A到原点的距离，如下图：
2．任意两个实数在数轴上的对应点分别为A，B，则的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度，如下图：
（思考）两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10 km和第20 km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
（分析）如果生活区建于公路路碑的第 km处，两施工队每天往返的路程之和为 km
那么应当如何求解呢？
结合以上复习回顾及思考，我们一起来研究 之间有什么关系呢？
二、讲解新课：
探究：用恰当的方法在数轴上把表示出来，你能发现它们之间的关系（是实数）
①时, 如下图, 易得：.
②时, 如下图, 易得：.
③时,显然有：. 综上,得
定理1： 如果是实数，则，当且仅当时，等号成立。
探究：若把换为向量 ， ，情形又怎样呢？
为了更好的理解定理1，我们再用代数推理的角度给予证明：
证明：
注意：定理1的推广形式：
推广1：（注意取等条件）
根据定理1，有，就是，。 所以，
推广2：（注意取等条件）
将推广1中的换为即可。
定理2：如果是实数,那么,
当且仅当时,等号成立。
证明：根据定理1有：
当且仅当时，等号成立。
探究：你能给出定理2的几何解释吗？
三、典型例题：
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10 km和第20 km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
SHAPE \* MERGEFORMAT
解：如果生活区建于公路路碑的第 km处，两施工队每天往返的路程之和为 km
那么
因为
当且仅当时取等号，
解不等式，可得
所以，当时，函数取最小值20。
于是，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
四、课堂练习：
1.(课本习题1.2第1题)求证:
⑴; ⑵
2. 若，且则的最大值是 ，最小值是 .
3.求函数的最小值.
4.若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.
五、高考连线：
（2014?江西）对任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
六、课堂小结：
1．实数的绝对值的意义:
⑴;（定义） ⑵的几何意义；
2．定理： 如果是实数，则，当且仅当时，等号成立。
推广：（注意取等条件）
七、课外作业：
1．必做：课本第2，4，5
2．选作：求证
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