《国家集训队论文集侯启明》-公开·课件.ppt

在信息学竞赛中的简单应用 侯启明 信息论简介 信息论是关于信息的本质和传输规律的科学的理论。 通过它可以很方便地得到某些交互式问题的一个较好的步数下界(“信息论下界”) 理论基础 定义：如果一个随机变量x共有n种取值，概率分别为p0,p2,......,pn，则其熵为H(x)=f(p0,p2,......,pn)=-∑Cpilogpi 定理1：在得到关于随机变量x的一个熵为h的信息后，x的熵将会减少h。 定理2：当一个随机变量的各种取值概率相等时，它的熵最大。 例1：验证一下定理1 我们宿舍二楼到三楼之间楼梯的窗户外面是相邻的一个平房的房顶。在那一带栖息着三只浑身雪白，有着一只蓝眼睛和一只绿眼睛的—— 例1：验证一下定理1 在天冷的时候，它们喜欢趴在楼内的暖气上。于是，每只猫就有了两种状态：在屋内和在屋外。因此，三只猫的状态共有8种可能情况，假设它们是等概率的。 现在，我在一楼的小卖部。由于种种原因，我希望知道猫当时的状况，因此，我往上看了一眼，结果发现在这个位置只能知道屋内猫的只数…… 例1：验证一下定理1 问题1：把所有猫的情况作为一个随机变量x，则当我在小卖部的时候，x的熵是多少？ 解答1：由于8种情况的概率相等，所以： H(x)=f(1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8,1/8)=log8 例1：验证一下定理1 问题3：我看完之后，x的熵H(x)是多少？ 解答3：此时猫的只数为0,1,2,3的四种情况的概率依次是(1/8,3/8,3/8,1/8)，而每种情况的熵分别为(0,log3,log3,0)，所以此时H(x)的数学期望为： H(x)=1/8*0+3/8*log3+3/8*log3+1/8*0=6log3/8 例2：Rods(IOI2002) 一个Rod是一个由至少2个单位正方形连成的水平或竖直的长条。在一个N*N的方阵中，放了水平和竖直两个Rod。如图1，其中Rod用X表示。 例2：Rods(IOI2002) 两个Rod可能有公共方格，比如在图1中，方格（4，4）无法确定是仅属于1个Rod还是同时属于两个Rod。因此，在这种情况下我们假定它同时属于两个Rod。这样，图中竖直Rod的上端点是（4，4）而不是（5，4）。 例2：Rods(IOI2002) 最初我们并不知道两个Rod的位置，你的任务是编程序找出它们的位置。你只能通过库函数rect(a,b,c,d)来定位两个Rod。如果至少一个属于某个Rod的方格落在矩形[a,b]x[c,d] (如图1中阴影区域)内的话，rect返回1，否则返回0。 例2：Rods(IOI2002) 对每个测试点，如果你的程序没有正确确定两个Rod的位置或调用rect超过400次，你将得到0分。否则，如果调用rect的次数至多为100，你将得到5分；在101到200间，你将得到3分；在201到400间，你将得到1分。 例2：Rods(IOI2002) 比赛时我很快想到了一个最多调用rect函数6log2n+C（某个常数）次的方法，但是因为这个数差不多刚好达到100，所以我在这时就开始试图优化上式中log2n的系数，结果徒劳无功，反而耽误了时间。因此，看过答案以后，我试着从信息论的角度分析了一下这个问题： 例2：Rods(IOI2002) 由于题目中没有涉及到概率，因此假设所有情况都是等概率的。所以，设Rod的摆放方法为随机变量x，x所有可能的取值数为f(n)，那么x的熵H(x)就等于log(f(n))。而由于库函数只有两种返回值，其熵最大为Hmax(y)=log2。因此，rect调用次数的信息论下界就是 L=H(x)/Hmax(y)=log(f(n))/log2=log2f(n) 例2：Rods(IOI2002) 在n*n的方阵中放1个Rod（无论横竖）共有n*C(n+1,2)种方案，放两个相交的Rod共有C2(n+2,3)种方案，所以： f(n)=(n2(n+1)/2)2-((n+2)(n+1)n/6)2 =(2n6+3n5-n4-3n3-n2)/9 当n充分大时： L=log(f(n))/log2log2(2n6/9)≈6log2n-2.2 例2：Rods(IOI2002) 由于各种原因，不一定总是使两种返回值概率相等，所以最坏情况下的调用次数往往达不到信息论下界，两者大约相差一个常数，因此，可以认为6log2n+C是rect函数最大调用次数的下界。这样，在得到一个这样的算法之后，就没有什么必要再去徒劳地优化步数了。 例3：Coins