数学实验报告 实验六 矩阵的特征值与特征向量.docVIP

数学实验报告 学　　院： 班　　级： 学　　号： 姓　　名： 完成日期： 实验六 矩阵的特征值与特征向量 问题一 一．实验目的 1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论； 2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法； 3.理解由差分方程xk+1 = Axk所描述的动力系统的长期行为或演化； 4.提高对离散动力系统的理解与分析能力. 二．问题描述 当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出Xk的计算公式）。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？ 三．问题分析 将线性变换x Axk的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。 根据已知信息，找到系统对应的差分方程xk+1 = Axk，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。 四．实验过程 问题对应的差分方程为xk+1 = Axk，其中A= 0.5 0.4 -0.125 1.1 ， 演化过程求解如下： 第一步：求A的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得： A=[0.5 0.4;-0.125 1.1]; [pc,lambda]=eig(A); [Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),descend); temp=diag(lambda); lambda=temp(I) pc=pc(:,I) 运行程序可得A的特征值为lambda = 1.0000 0.6000 A 的特征向量pc = -0.6247 -0.9701 -0.7809 -0.2425 显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取 V1= 4 V2= 4 P= 4 4 P﹣1AP = 1.00 0 5 1 5 1 0 0.60 第二步：V1用和V2表示x0和xK ,k=1,2….因为{ V1，V2}是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得 x0= c1 V1+ c2 V2. 因为V1，V2为矩阵A对应于λ=1.0，u=0.6的特征向量，所以AV1=λV1，A V2=λV2，于是 X1=Ax0=A(c1 V1+ c2 V2)= c1λV1+ c2uV2. X2=Ax1=A(c1λV1+ c2λV2)= c1λ2V1+ c2u2V2. 一般地， Xk= c1λkV1+ c2ukV2. = c1 (1.0)k 4 + c2 (0.6)k 4 k=0,1,2,3 …. 5 1 当k趋近于无穷大时，0.6^k 趋近于0，假定c10,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1 (1.0)k V1，写为 Xk≈c1(1.0)k 4 5 K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k， Xk+1≈c1(1.0)k+1 4 5 = Xk 可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且 Xk约为 4 5 的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。 第三步：解的图像表示，见图8-1，其中绿色圆圈代表初始点x0，红色圆点代表迭代序列，箭头代表迭代方向，蓝色直线代表特征向量V1，V2所在的直线。在图8-1中，圆点为鞍点，排斥最快的方向为过圆点和特征向量V1的直线方向。其中V1对应的特征值得绝对值为1.如果x0在这条直线上，则表示c2等于0，且Xk始终在原点。吸引最快的方向由特征向量V2决定，其对应的特征值的绝对值大于1. 相应的代码如下： % P8_1.m % 捕食者-被捕食者解的图像表示 clear,clc a=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1; n=100; xlabel(|\lambda|=1,|u|1) axis([a b c d]),grid on,hold on x=linspace(a,b,30); A=[0.5 0.4;-0.125 1.1]; [pc,lambda]=eig(A); [Y,I]=sort(diag(ab