电磁场与电磁波第5章OK.ppt

静态场的镜像法求解 镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，这个相似的电荷称为镜象电荷，然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场。 镜像法求解注意： 1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨论的区域中时将会改变所放置区域的电位分布，所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程。 2、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的。 3、所得电位函数必须满足原来的边界条件。 4、可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场计算问题。 若考虑球面一点的电位，因为是接地，则: ∴ ……① 现考虑边界问题目的是要由已知d,a,q确定的大小。 在M,N两个特殊点考虑边界： 在M点： ……② 同理在N点： ……③ ∴ 例题 一长直金属槽的长度方向上平行轴放置，横截面如图所示，其侧壁与底面的电位均为０，而顶盖电位φ(x,b)=υ(x)=100sin(x),求槽内的电位分布? 解：由于槽内场域中没有电荷分布，所以电位函数应满足拉普拉斯方程。 例题 5.4.3 球形边界问题 1、如图（page107,图5.9），接地导体球，半径为a，在球外与球心相 距为d的p点处有一点电荷q，点电荷q将在导体球表面产生感应负电 荷，球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷q产生的电位之 和。 设想把导体球移开，用一个镜象电荷代替球面上的感应负电荷，为了不改变球外的电荷分布，镜象电荷必须放在导体球内。又由于球对称性，这个镜象电荷必然在点电荷q与球心所在的同一条直线上。又由于靠近点电荷q的球面部分，感应电荷密度大些，所以镜象电荷必定在OM线段上，设在b点,OM=b，则位函数表达式为 可求出： 可知镜象电荷与源电荷总是极性相反的，确定了镜像电荷的位置和电量大小，则位函数表达式就确定了。采用镜象法后，球面外区域的电位函数相对容易计算。 2、如图（page108,图5.10），若导体球不接地，导体球上的静电荷为0，并且球面电位不为0，但仍保持为等位面，为了满足导体球上静电荷为0的条件，还需加入另一镜象电荷 , 使 即： 球面电位为： 导体球外各点的电位由q, 和 共同产生： 5.4.4 圆柱形边界问题 一无限长带电线，电荷密度为 ,与半径为a的无限长导电圆柱的轴线平行，线与圆柱轴线的距离为d，无限长导电圆柱等效为接地。 利用球形边界的分析方法：导电圆柱体上的镜象线电荷为: 镜象线电荷与圆柱轴线的偏心距离为: 这样，用镜象线电荷取代圆柱形导电体，就把问题简化为了求两条平行等值异号线电荷的电位和电场。 5.5 分离变量法 分离变量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，该方法把一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后，再进行计算。与完全的数学求解不同，针对具体物理问题使用该方法求解时，将要结合一些物理概念进行分析求解。 通过分离变量，它将函数的偏微分方程分解为带“分离”常数的几个单变量的常微分方程。不同坐标系分解出来的单变量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。坐标系的选择应尽量使场域边界面平行于坐标面。例如：矩形域应选直角坐标系；圆柱形域应选圆柱坐标系；球形域应选球坐标系。 5.5.1 直角坐标系中的分离变量法 如果所讨论的场域的边界面是平面，而且这些平面相互平行或相互垂直时，应选择直角坐标系。在直角坐标系中，位函数φ的拉普拉斯方程为 令φ为三个单变量函数的乘积，即 代入上式，并在两端同除以φ，可得 上式的三项中，每一项都是一个独立变量的函数，而三项之和若要等于0，则只有一个可能，就是每一项分别等于一个常数，而这三个常数之和为0。 并且 即令 据此，我们可将拉普拉斯方程分解成三个带分离常数的常微分方程。显然，三个分离常数不可能全为实数，也不能全为虚数。至于将三个常数都假设为是某一个常数平方的负值，是因为要使方程的解成为一些特殊函数，以便于利用边界条件来确定常数。 对于上面的式子，其解的形式如下： 1、当 ，即 为实数时， 其解为 2、当