期权的二叉树定价模型.pptVIP

期权的二叉树定价模型 在实际的金融市场中最为关键的问题是：在一定条件下，期权价格的合理取值应为多少？ 本节将讨论标的资产为离散和连续情形下的欧式看涨期权（call option）定价问题。为期权进行准确估值的一个常用方法是构造二叉树图。这个二叉树图能够描述标的资产（股票）在期权的有效期内所可能够遵循的路径。 一、单期二叉树模型 1．二叉树模型的例子 首先我们看下面的一份例子。 假设某种股票的当前价格为$20，并且能够知道三个月后，股票的价格后的可能取值为两个$22或$18。假设股票不付红利，我们将对三个月后以$21执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。 根据期权合约的定义，很容易计算得到下面的结果：在期权的到期日，如果股票价格为$22，则期权的价值将是$1；如果股票价格为$18，则期权的价值将是0。 股票和期权的取值情况如图所示 根据无套利定价的思想为期权定价 在无套利假设条件下，如何利用二叉树模型为期权定价。 我们将构造股票和期权的投资组合，特别的，将股票和期权分别取适当的头寸，我们将能够构造出一份期权和相应股票头寸的无风险组合，从而无风险组合的价值在三个月末是确定值。 由于该组合无风险，根据无套利假设条件，所以该组合的收益率一定等于无风险收益率，由此我们可以得出有关期权价格的一个方程，求解该方程，就可以得出期权的价格。由于组合中只有两种证券（股票和股票期权），并且只有两个可能的结果，所以只要选择合适的股票和期权的比率，我们一定能构造出无风险组合。 构造下面的证券组合 该组合包含△股股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸。 我们首先计算△值为多少时，所构造的组合为无风险组合。 当股票价格从$20上升到$22时，股票的价值为22△，期权的价值为$1，在这种情况下，该证券组合的价值为22△-1；当股票价格从$20下降到$18时，股票的价值为18△，期权的价值为零，在这种情况下，该证券组合的价值为18△。如果选取某个具体的△值，使得在两种情况下，组合最终的价值相等，则该证券组合一定是无风险组合。 即 22△-1=18△， 求解可得： △=0.25 因此，按照上面求出的△值，我们可以构造下面的无风险证券组合为： 多头：0.25股股票 空头：一份看涨期权合约 如果股票价格上升到$22，该组合的价值为： 22*0.25 – 1=4.5 如果股票价格下跌到$18，该组合的价值为： 18*0.25 = 4.5 可以看到，无论股票价格怎样变化，最终是上升还是下降，在期权有效期结束时，我们构造的证券组合价值总是$4.5。 在无套利假设条件下，无风险证券组合的收益率一定为无风险利率。 假设无风险利率为年率12%。我们可以计算该组合的现在价值一定是$4.5，即： 我们用f 表示期权的价格。已知股票现在价格为$20，因此该组合现在的价值为： 20*0.25 – f = 5 – f 于是 5 – f = 4.367 求解可得 f = 0.633 在无套利假设条件下，期权的价值一定为$0.633。 如果期权的价值超过了$ 0.633，投资者构造该组合的成本就有可能低于$ 4.367，并将获得超过无风险利率的额外利润，这与无套利假设条件矛盾；如果期权的价值低于$ 0.633，投资者可以通过卖空该证券组合来获得低于无风险利率的资金，这与无套利假设条件矛盾。 2 期权的二叉树计算公式推导 考虑一种不支付红利的股票，股票现在价格为S，以该股票为标的资产，有效期为T的某个期权的价格为f，假设在未来T时刻股票的价格只有两种取值情况，股票价格或者从S上升到一个新的价格，或者从S下降到一个新的价格 (其中：u 1 , d 1)，即当股票价格向上变化时，股票价格增长的比率为u-1；当股票价格向下变化时，股票价格减少的比率为1-d。 在期权的有效期T时间，我们可以根据股票的取值情况，计算期权的相应取值状况。当股票价格变化到Su时，我们假设期权的收益为fu；当股票价格变化到Sd时，我们假设期权的收益为fd。 利用前面例子的思想方法，我们可以利用股票和期权合约构造无风险证券组合。在证券的组合中，我们将选取△股的股票多头头寸和一份期权合约的空头头寸来组成证券组合。为使得该证券组合为无风险组合，我们需要计算股票的多头头寸数量△的具体取值。 股票价格和期权价格的单步二叉树图 Su fu S f Sd fd 如果股票价格由S上升到Su，则在期权的到期日，该组合的价值为： Su △ - fu 如果股票价格由S下降到Sd，则在期权的到期日，该组合的价值为： Sd △ - fd 要使得上述证券组合为无风险组合，则无论股票价格是上升还是下