电动力学-静电场3.ppt

* 第二章 静电场 分离变量法 哈尔滨工程大学理学院 * §2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 本节内容主要是研讨拉普拉斯方程的求解析方法。 自由电荷只能分布在导体表面。因此，在没有电荷分布的区域V里，泊松方程就转化为拉普拉斯方程。 边界条件 ① 给定 ②给定 或导体总电量 ①怎样求解（通解）拉普拉斯方程。 ②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。 归纳 用分离变量法求拉普拉斯方程的通解，其求解条件： ① 方程是齐次的。②边界应该是简单的几何面。 1、用分离变量法求拉普拉斯方程的通解 （1）在直角坐标系中 设 通解 （A、B、C为待定系数） （2）在柱坐标系中 设 通解 Jm为m阶第一类贝塞尔函数 Nm为m阶第二类贝塞尔函数 ?为伽玛函数 如果考虑与z轴无关(k=0)情况，且 ，则 这里A，B，C，D为待定系数。 设 通解 为缔合勒让德（Legendre)函数。 对于具有轴对称的问题，m=0 (取此轴为极轴） （3）在球坐标系中 为勒让德函数，An、Bn 为待定系数。 对于球对称的问题，m=0 , n=0。 A、B 为待定系数。 2、利用边界条件定解 说明： 如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布）， 必须有i个相应的拉普拉斯方程。 (2) 在每个区域的交界面上，应满足边值关系： 在Sij面上 边界条件： 导体的总电荷 3、举例说明定特解的方法 [例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包围一个半径为R1的导体球(R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 Q R1 R2 R3 解：（1）分析题意，找出定解条件。 据题意，具有球对称性，电势不依赖于极角?和方位角?，只与半径r有关。 故定解条件： 边界条件： (i) 导体球接地 (ii) 整个导体球壳为等势体 (iii) 球壳带电量为Q，根据高斯定理 （2）根据定解条件确定通解和待定常数 电势不依赖于? ?m=0 电势不依赖于? 故导体球壳内、外空间的电势 令 导体球上的感应电荷为 [例2]介电常数为?的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。 z R 解(1) 分析题意，找定解条件。 问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外。 两区域内都没有自由电荷，电势?满足拉普拉斯方程。 ?1：球外区域的电势， ?2：球内区域的电势 (2) 根据定解条件确定通解和待定常数 由于问题具有轴对称性，即?i与?无关，故 比较两边系数，得